Линейные преобразования и геометрия Лобачевского

Евклидово изображение на круге геометрии Лобачевского.

Известно, что аксиоматика геометрии Лобачевского отличается от аксиоматики геометрии Евклида только в одном пункте, а именно: вместо постулата Евклида о параллельных прямых: «через точку, внешнюю к прямой, можно провести прямую и притом только одну, не встречающую данной прямой», вводится следующий постулат Лобачевского: «через точку, внешнюю к прямой, проходит бесконечное множество прямых, не встречающих данной прямой; эти прямые заполняют некоторый угол, стороны которого — граничные прямые — называются параллельными данной прямой». При этом «свойство параллелизма двух прямых не зависит ог точки, выбранной на одной или другой прямой».

Фиг. 47.

Чтобы выполнить евклидоЬо изображение этой геометрии, мы будем рассматривать в части евклидова пространства евклидовы геометрические элементы и операции, которые заставим соответствовать элементам и операциям геометрии Лобачевского, обозначая их тем же названием с присоединением эпитета «неевклидов»; мы установим, что эти элементы обладают свойствами, выражающимися в указанных терминах посредством фундаментальных предложений геометрии Лобачевского.

Обозначим через G внутреннюю часть евклидовой окружности Г-, называемой фундаментальной. Условимся за неевклидову точку принимать точку внутри Г, за неевклидову прямую — часть окружности, ортогональной к Г, расположенную на G. Через две точки А, В проходит единственная неевклидова прямая, А (фиг. 47); эта окружность, А встречает Г в точках, а и р. По определению неевклидово расстояние между точками А, В будет логарифм ангармонического отношения четырёх точек a, р, В, А окружности Д с точностью до множителя к, которому можно приписать произвольное положительное числовое значение:

Легко видеть, что неевклидово расстояние D (А, В) неограниченно возрастает, когда одна из точек А или В стремится к а или р. Таким образом, окружность Г может быть рассматриваема как изображение множества бесконечно удалённых точек неевклидовой плоскости. По определению неевклидов угол между двумя неевклидовыми прямыми будет угол между двумя соответствующими окружностями. Неевклидовы перемещения будут линейные преобразования, сохраняющие внутренность окружности Г.

Чтобы показать, что эти определения удовлетворяют постулатам геометрии Лобачевского, констатируем, не входя в детали, лишь следующее:

• а) Неевклидовы перемещения сохраняют неевклидовы прямые, расстояния и углы. Эго очевидно в силу свойств линейных преобразований, сохраняющих внутренность окружности Г.
• б) Неевклидовы расстояния складываются на неевклидовой прямой, г. е. если А, В, С—три точки на неевклидовой прямой, то

Действительно, обозначим через а, р, я, Ъ, с аффиксы в комплексной плоскости точек а, р, А, В, С, окружности, А и покажем, что.

Справедливость последнего равенства легко проверить, написав его в раскрытом виде:

Логарифмируя это равенство и умножая на к, найдём (25).

в) Постулат Лобачевского о параллельных выполняется.

ке фундаментальной окружности евклидовых окружностей, ортогональных к основной окружности, то отсюда становится очевидным формулированное зыше свойство параллелизма.