Конформное отображение. 
Введение в теорию функций комплексного переменного

Геометрический смысл аргумента производной.

Пусть w = f (z) есть функции, аналитическая в области (5. Значения функции w = u —vi будем изображать точками в плоскости uv. Каждой точке z = х yi в плоскости независимого переменного z будет соответствовать одна точка w = u—vi в плоскости функции w (фиг. 28 и 29). При движении точки z в плоскости ху по некоторой линии С соответствующая ей точка w будет описывать в плоскости uv линию Г,.

Фиг. 28.

Фиг. 29.

являющуюся отображением линии С. Пусть 2₀ — произвольная точка области G и С—линия, данная вместе' со своим направлением, выходящая из этой точки и имеющая определённую касательную в точке z_Q. Предположим, что /'(г₀)ФО. В плоскости uv линии С будет соответствовать как её отображение линия Г, выходящая из точки w^=f (z₀). Если уравнение произвольно выбранной линии С есть z—z (t) (О ^ 1), то уравнение линии Г получим, если заменим в равенстве w = f (z) переменное z через z{t) w=f[z (t)] = w (t) (O^t^ 1).

Чтобы выяснить геометрический смысл производной /' (z₀), представим комплексное число f'(z₀) в тригонометрической форме: f'(z₀) =

= r (cos a-{-/sin а), и выясним геометрическое значение аргумента а производной и её модуля л Возьмём произвольную точку z₀r-Az₀ на линии С и обозначим через Aw₀ соответствующую ей точку на плоскости uv, лежащую на линии Г. При стремлении точки z₀—Az₀ по линии С к точке z₀ соответствующая ей точка w₀—Aw₀ движется по линии Г к точке w₀, причём Az₀ и Aw₀ одновременно стремятся к нулю. Из равенства.

находим:

<�с точностью до кратных 2тт). Здесь входит требование, чтобы /' (г₀)фО, так как в противном случае, а не имел бы определённого значения. Рассмотрим ближе равенство (60). Так как аргумент дроби равен разности аргументов числителя и знаменателя, то.

и равенство (60) примет вид:

Выясним геометрический смысл равенства (60'), пользуясь фиг. 28 и 29. Очевидно, &z₀ = (z₀ -J-Az₀) — z₀ изображается вектором, соединяющим точку z₀ с точкой z₀ Дг₀; также lw₀ есть вектор, идущий от точки w₀ к точке w₀—Aw₀. Следовательно, argAz₀ есть угол <�р между положительным направлением оси Ох с соответствующим вектором Дг₀, a argA’O’o есть угол Ф оси Ои с вектором kw₀. Таким образом, равенство (60') будет вида:

В пределе направление вектора z₀ совпадает с направлением касательной к линии С в точке z₀ (фиг. 28), а направление вектора Aw₀— с направлением касательной к линии Г в точке w₀ (фиг. 29), которая необходимо должна существовать вследствие равенства (60″). Обозначая через ф и Ф углы осей Ох и Ои соответственно с касательными к линиям С и Г в точках z₀ и w₀, перепишем (60*) таким образом:

Будем считать положительные направления осей Ох и Ои совпадающими между собой. Тогда из равенства (61) усматриваем, что а есть угол, на который поворачивается касательная к линии С в точке z₀ при отображении с помощью w — f (z), или, иначе, а есть угол между первоначальным и отображённым направлениями. Существенно важно заметить, что линию С мы берём произвольной; при изменении направления линии С будут изменяться ф и Ч*, но а остаётся постоянным. Следовательно, проводя из точки z₀ другую линию С и обозначая соответствующую ей линию, выходящую из точки w₀, через Г' (фиг. 28 и 29), мы можем заключить, что равенство (61) остаётся в силе для этой пары линий. Оно примет вид:

где ф' и Ч^г суть значения, соответственно, ф и Ч* для линий С' и Г'. Вычитая (61) из равенства (61'), получим:

Заметив, что ф' — ф обозначает угол между касательными в точке z₀ к линиям Си С', а Ч*'— Ч*— соответствующий угол для Г и Г, усматриваем из равенства (62) следующее: две произвольные линии, выходящие из точки z₀, отображаются в две соответствующие линии, выходящие из точки w₀ = f (z₀)_} так что угол между касательными к данным и отображённым линиям будет один и тот же как по величине, так и по направлению. Это значит, что если положительное направление линии С в точке z₀ переволится в положительное направление линии С' путём поворота на некоторый угол в определённом направлении, то соответствующее направление линии Г переходит в направление линии Г' путём поворота на тот же угол и в том же направлении. Итак, отображение с помощью аналитической функции обладает свойством сохранения (консерватизма) углов во всех точках, где производная f'(z) не равна нулю.