Нормальное распределение. 
Атомная и ядерная физика: радиоактивность и ионизирующие излучения

Распределение вероятностей случайной величины X называется нормальным, если оно имеет плотность вероятности.

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием ноль и стандартным отклонением 1. Стандартное нормальное распределение является частным случаем гамма-распределения.

Одним из наиболее важных распределений, встречающихся в статистике, является нормальное или гауссово распределение. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Центральная предельная теорема показывает, что в случае, когда результат измерения складывается под действием многих причин, причём каждая из них вносит лишь малый вклад, а совокупный итог определяется аддитивно, т. е. путём сложения, то распределение результата измерения близко к нормальному. Нормальное распределение служит хорошим приближением каждый раз, когда рассматриваемая случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, максимальная из которых мала по сравнению со всей суммой.

Нормальное распределение зависит от двух параметров: смещения и масштаба. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания, ц) и разброса (стандартного отклонения, а). Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием ноль и стандартным отклонением 1.

Замечание. Величину стназывают дисперсией, а положительное значение квадратного корня из дисперсии, а — средним квадратичным отклонением. В литературе по математической статистике величину, а называют также квадратичной ошибкой; в ГОСТ 16 263— 70 термин «ошибка» не рекомендован.

Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины с параметром смещения р (среднее значение, математическое ожидание) и масштаба о (мера рассеяния случайной величины, дисперсия о²) имеет следующий вид:

Математическое ожидание = медиана = мода = р,= р, дисперсия М₂=а², коэффициент асимметрии = коэффициент эксцесса = о. Для центральных моментов третьего и четвертого порядка нормального распределения справедливы равенства М₃=о, М₄=3а⁴. Эти равенства лежат в основе классических методов проверки подчинённости результатов наблюдений нормальному распределению.__.

Коэффициенты асимметрии и эксцесса р,=р₂=о.

Распределение накопленной вероятности представляет собой S-образную кривую. Функция распределения (интегральное нормальное распределение) не выражается через элементарные функции и записывается через интеграл Римана.

Замечание. Функция ошибок — неэлементарная функция, возникающая в теории вероятностей и статистике erfx = ^=J* e~^t7dt.

Изменением шкалы по вертикальной оси эту кривую можно превратить в прямую линию. Графическая бумага такого типа с соответствующей шкалой ординат называется вероятностной бумагой.

Если набор случайных чисел подчиняется нормальному распределению со стандартным отклонением о, то вероятность того, что число отклонится от среднего не более чем на а, равна erf ~^=.

<72.

Плотность вероятности нормального распределения имеет вид симметричной колоколообразной кривой, которая распространяется до бесконечности, как в положительном, так и отрицательном направлениях.

График функции ф (д:) симметричен относительно прямой х = //, имеет в точке р единственный максимум, равный l/Caferc)¹/²) и имеет точки перегиба с абсциссами р-a, р+а. При х->±оо график функции асимптотически приближается к оси Ох. С уменьшением, а кривая нормального распределения становится более островершинной, т. е. чем меньше а, тем меньше вероятность появления больших по абсолютному' значению случайных погрешностей (выше точность измерений). Изменение // при постоянном значении, а не меняет форму кривой, а вызывает лишь её смещение по оси абсцисс. При р=о осью симметрии является ось Оу.

Рис. 4. Нормальное распределение: плотность вероятности (а) и функция распределения (б). Кривая 1 — р=о, а²=0.2; 2 — р=0, а²=1.0; з — р=о, а²=5.0; 4 — р=-2, ст²=о.5.

Площадь, заключённая под кривой, всегда равна единице, т.к. при любых у и, а выполняется соотношение.

Вероятность того, что результат отдельного измерения л: окажется больше некоторого значения а_ь но меньше а₂, т. е. попадёт в интервал (ai, а_а), выражается как.

Эта вероятность численно равна площади, которая ограничена кривой распределения и прямыми, проходящими через точки а_х и а₂ параллельно оси ординат. Во многих практических задачах пренебрегают возможностью отклонений от р, превышающих за, — правило трёх сигм (соответствующая вероятность меньше 0,003). Для нормального распределения вероятное отклонение равно 0,67 449а. Функция распределения стандартной нормальной случайной величины (т.е. при р,=о, a=i) равна:

Для этой функции составлены таблицы её значений для различных значений аргумента.

Функция Ф (х) (интеграл вероятностей) обладает следующими свойствами.

Ф (-х)=-Ф (х), т. е. интеграл вероятностей является нечётной функцией.

Функцию распределения нормальной случайной величины с любыми параметрами легко выразить через Ф (а):

В силу симметричности плотности стандартной случайной величины относительно нуля имеем

Откуда следует, что вероятность попадания стандартной нормальной случайной величины в интервал (о, а*) равна:

где Ф (х) задается Ур.40.

Вероятность того, что нормальная случайная величина с параметрами р и, а попадёт в интервал (а_1га₂) равна:

Для нормально распределённой величины X нормированное уклонение тоже является нормально распределённой случайной величиной. При этом Р (ДХ<�а)=о, 682б, Р{АХ<2а)=о, 9544, Р (/Х<За)=о, 9973, т. е. отклонения большие, чем утроенный стандарт, крайне маловероятны. Этот вывод называют «правилом трёх сигм».