Конформное отображение II рода

При аналитическом отображении углы между соответствующими направлениями сохраняются не только по величине, но и по направлению ртсчёта.

Всякое отображение плоскости комплексного переменного z (или её части) на плоскости при котором углы сохраняются по величине, направление же их отсчёта меняется на обратное, обладающее, сверх того, свойством постоянства растяжений, называется конформным отображением II рода в отличие от аналитических отображений, называемых конформными отображениями Iрода. Все такие отображения устанавливаются с помощью функций, тесно связанных с аналитическими функциями.

Фиг. 32.

Пусть нам дано отображение: w = z. Будем интерпретировать пет ременное w в той же плоскости, что и z мы видим, что при рассматриваемом отображении всякая точка z переходит в точку, ей симметричную относительно действительной оси. Ясно, что при таком отображении всякие два направления, выходящие из точки z и образующие между собой некоторый угол а, перейдут в два соответствующие направления, симметричные с первыми, угол между которыми будет — а, т. е. величина углов сохраняется, направление же их отсчёта меняется на обратное (фиг. 32). Далее, это отображение обладает свойством постоянства растяжений, так как при нём не происходит вообще никакого изменения масштаба. Следовательно, рассматриваемое отображение w = z есть конформное отображение II рода.

Предполагая теперь f{z) аналитической функцией, мы можем заключить, что отображение w= / (z) будет конформным II рода. В самом деле, это преобразование может быть разбито на два последовательных отображения: С = f{z) и w = С.

При первом преобразовании углы сохраняются как по величине, так и по направлению; при втором же — направление отсчёта углов меняется на обратное. Следовательно, в результирующем отображении углы сохраняются по величине, но направление их отсчёта меняется на обратное. Кроме того, данное отображение обладает свойством постоянства растяжений, так как это последнее свойство присуще обоим составляющим преобразованиям.

Итак, мы доказали, что всякое преобразование, устанавливаемое с помощью функции, значения которой являются сопряженными со значениями аналитической функции, есть конформное II рода. Обратно, всякое конформное отображение II рода осуществляется с помощью функции, сопряжённой с некоторой аналитической функцией. В самом деле, если w = F (z) устанавливает конформное отобра. жение II рода, то wt= F (z) должно определять конформное отображение I рода, и, следовательно, F (z) есть функция, аналитическая в рассматриваемой области: F (z)=f (z), откуда следует:

Мы видели, что аналитическое отображение характеризуется двумя свойствами: консерватизмом углов и постоянством растяжений. Естественно поставить вопрос: всякое ли непрерывное отображение, обладающее свойством консерватизма углов, будет аналитическим, т. е. свойство сохранения углов влечёт ли постоянство растяжений? Или другой аналогичный вопрос: непрерывное отображение, обладающее постоянным растяжением, не будет ли всегда конформным I или II рода? Не касаясь разбора этих вопросов, мы лишь заметим, что обе поставленные задачи решаются в положительном смысле и притом элементарными методами, если a priori предполагать для данного отображения w = u—vi непрерывность частных производных функций и и v. Решение тех же проблем становится гораздо более трудным, если рассматривать произвольное непрерывное преобразование a priori, не предполагая существования частных производных функций и и v. Однако, за последнее время сделаны большие успехи в решении указанных проблем и в их общей постановке. Так. доказано, что всякое непрерывное и взаимно однозначное отображение, обладающее консерватизмом углов, необходимо есть аналитическое ^!).

Вопрос о том, будет ли требование взаимной однозначности преобразования существенным для справедливости теоремы или же предложение остаётся в силе и без этого ограничения, не разрешён ещё до конца. Что касается второй проблемы, то она решена исчерпывающим образом^[1][2]). Доказано, что всякое непрерывное и взаимно однозначное отображение, обладающее постоянством растяжений, необходимо должно быть конформным I или II рода. С другой стороны, на простом примере легко показать, что здесь требование взаимной однозначности отображения является существенным. Действительно, легко дать пример непрерывного отображения с постоянным растяжением, которое не будет конформным ни I, ни II рода. С этой целью возьмём следующее преобразование: w=z, если точкам находится в верхней полуплоскости, w=z, если точка z лежит в нижней полуплоскости (на действительной оси z и z совпадают). Очевидно, это отображение будет непрерывным во всей плоскости комплексного переменного z, будет обладать постоянным растяжением и тем не менее оно не будет ни аналитическим во всей плоскости, ни сопряжённым с аналитическим во всей плоскости. Вторая проблема, следовательно, получает отрицательное решение, если рассматривать однозначные отображения, не обратимые однозначно.

• [1] J) D. Menschoff, Sur la representation conforme des domaincs planes.Math. Ann., 1926.
• [2] H. Bohr, Ober streckentreue und conforme Abbildung, Math. Zeitshr., Bd I, 1918, S. 403.