Нули аналитической функции

Мы называем нулём функции f (z), голоморфной в области G, всякую точку z₀ этой области, в которой имеет место равенство:

Множество всех нулей нашей функции f (z), лежащих в области G, может быть конечным или бесконечным. Однако, никакая точка области G не может быть предельной точкой множества нулей функции /(z), если f (z) не есть тождественный нуль (п. 4). Следовательно, все пре тельные точки множества нулей функции f (z) должны находиться на границе области G. Отсюда, в частности, следует, что около всякого нуля функции /(z). можно описать, как из центра, окружность достаточно малого радиуса так, что внутри этой окружности не имеется других нулей, кроме центра.

Легко видеть далее, что множество всех нулей функции f (z) (/(z)=?0), лежащих в области G, где данная функция является голоморфной, можно рассматривать в виде последовательности точек, т. е. все нули можно перенумеровать с помощью натуральных чисел.

Действительно, обозначим через G"(n= 1, 2, 3,…) систему замкнутых областей, целиком лежащих в области G, и таких, что каждая из них содержится в следующей, причём максимальное расстояние границы области Од до границы области G пусть равно —, т. е. -i.

есть максимум расстояний между границей области д'_п и всевозможными точками границы области G. Б каждой замкнутой области G" имеется лишь конечное число нулей функции f (z), так как в противном случае существовала бы предельная точка этих нулей, лежащая в области G, что невозможно. Заметив это, рассмотрим сначала все нули функции /(z), лежащие в области Gr, обозначим их через z_t, z₂,. ., z*,; затем рассмотрим те нули, которые лежат в Gj и вне Gl; обозначим их через z*_I+1, z*_I+2,. ., z*₉ и т. д. В результате мы получим последовательность точек z_t9 z₂, …, z_n> исчерпывающую все различные нули функции /(z), лежащие в области G, так как каждый нуль находится на определённом положительном расстоянии от границы области G и, следовательно, принадлежит области G_rt, начиная с некоторого п. Все вышеупомянутые заключения о расположении нулей аналитической функции остаются в си. е для множества тех точек области G, в которых функция /(z), голоморфная в G, принимает постоянное значение с, так как точки, в которых имеем: /(z) = c, суть нули функции /(z) — с.