Малая теорема Пикара

Задолго до открытия Ландау Пикаром был*установлена следующая теорема для целых функций: всякая целая функция, не равная тождественно постоянному, принимает любое конечное зна}}^[1][2][3][4] + • • •(? Ф 0) есть голоморфная функция внутри круга | z | не принимающая значений 0 и 1, то имеет место неравенство.

где й (а, ?) зависит только от а и р.

В самом деле, полагая «р {z) = /(Rz), получаем функцию? (z), голоморфную при | z | < 1 и выпускающую два значения: 0 и I. Применяя к этой функции доказанное неравенство (7), получаем: | (0)| < L [? (0) J, или возвращаясь к данной функции /, перепишем последнее неравенство так:

откуда вытекает:

Так как функция F (z) голоморфна и не принимает значений 0 и 1 внутри круга произвольного радиуса R: |z|</?, то по теореме Ландау имеем;

Противоречивость этого неравенства очевидна, так как в левой его части стоит произвольно большое число /?, а в правой — постоянное число ?2 (a, f).

• [1] чение, кроме, быть может, одного
• [2] Иными словами, уравнение f (z) = A, где /(z) есть целая функция, имеет
• [3] корень при всяком конечном значении комплексного числа А, кроме, бытьможет, одного исключительного значения. Примером целой функции с исключительным значением может служить е*} которая не равна нулю ни прикаком z. Примером целой функции, не имеющей исключительного значения, может служить любая целая рациональная функция или sin г. Рассматриваемое предложение Пикара является частным случаем теоремы Ландау, установленной в п. 1. В самом деле, предполагая, что целая функция /(z) выпускает два различных конечных значений, а и b и не равна тождественнопостоянному, мы немедленно придём к противоречию на основании теоремыЛандау.
• [4] Образовав функцию F (z)=^, мы видим, что она голоморфна во