Доказательство теоремы единственности

Пусть две функции/(г) и? (*), голоморфные внутри круга |*|< 1, будут равномерно ограниченными в этом круге; (/(*)|< М_} I <�р (г) | < Af, если | г I < 1.

Рассмотрим множество точек E{z_ky | z_k I < 1, таких, что ряд.

их расстояний до окружности |*)==1 расходится. Предположим, что во всех точках множества Е функции /(*)'и <�р (*) имеют равные значения. Тогда мы докажем, что функции /(*) и ?(*) равны тождественно друг другу.

Полагая /*(г) = /(*)—?(*), мы получаем функцию F (z), голоморфную внутри круга |г|<1, равномерно ограниченную в этом круге: | F (z) < 2 М, если |г|< 1, равную нулю на множестве точек Е. Наша теорема будет доказана, если мы обнаружим, что функция F(*) есть тождественный нуль.

Допуская противное, мы предположим, что функция F (z) не есть тождественный нуль. Как известно (гл. V, § 2, п. 6), множество её нулей, лежащих внутри круга |*| < 1, можно перенумеровать с помощью натуральных чисел, расположив их в порядке возрастания модулей. Мы можем считать, что последовательность точек Е {**} представляет совокупность всех нулей функции F (z)_y так как от прибавления ко множеству Е новых элементов ряд (30) остаётся расходящимся.

Итак, г_х, z₂…z_kt… суть всевозможные нули функции F (z)_t располо;

женные в порядке возрастания их модулей, причём каждый кратный нуль записывается в этой последовательности столько раз, какова его кратность. Не уменьшая общности теоремы, можно предполагать О, так как в про;

F (z)

тивном случае достаточно рассматривать Ф (г)=-——, где >—кратность корня 0. [Для | z f < 1 имеем:

Рассмотрим окружность г = о произвольного радиуса р <�Г 1, не проходящую ни через одну из точек z_u z₂,.z*,.и обозначим через п число точек z_kt лежащих внутри этой окружности. По формуле Якоби-Иенсена (п. 2) имеем:

Так как по условию F (z)<2M при |z|< 1, то из формулы (II) вытекает неравенство:;

или, что-то же,

Неравенство (31) справедливо при любом р<1 и соответствующем п. Покажем, что это неравенство останется в силе, если п будем считать постоянным, а р — сколь угодно близким к единице, т. е. обнаружим справедливость неравенства:

где 1 > p^r 5s р.

Действительно, обозначая через п' число нулей z_k, лежащих внутри окружности |z| = p^r, перепишем (31) так:

Из неравенства (32) вытекает искомое неравенство (31'):

так как имеем:

Считая п постоянным, перейдём в неравенстве (3Г) к пределу при р, стремящемся к единице. Получим в результате:

или.

Последнее неравенство справедливо при всяком п.

Следовательно, будем иметь:

т. е. мы доказали, что бесконечное произведение Ц z_k сходится (так как Л=1.

положительные числа р_п = | z_l |*| г₂1… z_n | убывают, оставаясь больше положительного постоянного) (§ 1, п. 1).

Заметив, что |г_Л| = 1 — (1 — z_k), мы в силу § 1, п. 2 заключаем о схо- 00.

димости ряда V (1 — г_к). Полученное противоречие убеждает нас в справед- *=1.

ливости теоремы.