Евклидовы пространства. 
Анализ векторного исчисления и его приложений

Для развития геометрических методов в теории векторного пространства нужно указать пути обобщения таких понятий, как длина вектора, угол между векторами и т. п. Один из возможных путей заключается в том, что любым двум векторам х и у из R ставится в соответствие число, обозначаемое (х, у) и называемое скалярным произведением векторов х и у. При этом требуется, чтобы выполнялись следующие аксиомы скалярного произведения:

• 1) (х, у) = (у, х) (перестановочность);
• 2) (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y) (распределительное свойство);
• 3) (ax, у) = a (х, у),
• 4) (х, х)? 0 для любого х, причем (х, х) = 0 только для х = 0. (1)

Обычное скалярное произведение в трёхмерном пространстве этим аксиомам удовлетворяет. Векторное пространство, в котором определено скалярное произведение, удовлетворяющее перечисленным аксиомам, называется евклидовым пространством; оно может быть как конечномерным (n-мерным), так и бесконечномерным. Бесконечномерное евклидово пространство обычно называют гильбертовым пространством. Длина |x| вектора x и угол между векторами х и у евклидова пространства определяются через скалярное произведение [2, C.141].

Примером евклидова пространства может служить обычное трёхмерное пространство со скалярным произведением, определяемым в векторном исчислении. Евклидово n-мepное (арифметическое) пространство En получим, определяя в n-мepном арифметическом В. п. скалярное произведение векторов x = (l1, …, ln) и y = (m1, …, mn) соотношением.

(x, y) = l1m1 + l2m2 +… + lnmn.

При этом требования 1)—4), очевидно, выполняются.

В евклидовых пространствах вводится понятие ортогональных (перпендикулярных) векторов. Именно векторы х и у называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: (х, у) = 0. В рассмотренном пространстве En условие ортогональности векторов x = (l1, …, ln) и y = (m1, …, mn), как это следует из соотношения (2), имеет вид:

l1m1 + l2m2 +… + lnmn = 0.

Понятие евклидова пространства позволяет полностью геометризовать теорию систем однородных линейных уравнений:

Рассмотрим в евклидовом пространстве En векторы ai = (ai1, ai2, …, ain), i = 1, 2,…, n и вектор-решение u = (u1, u2,…, un). Пользуясь формулой (2) для скалярного произведения векторов En, придадим системе (4) следующий вид:

(ai, u) = 0, i = 1, 2, …, m.

Из соотношений (5) и формулы (3) следует, что вектор-решение u ортогонален всем векторам ai. Иными словами, этот вектор ортогонален линейной оболочке векторов ai, то есть решение u есть любой вектор из ортогонального дополнения линейной оболочки векторов ai. Важную роль в математике и физике играют и бесконечномерные линейные пространства. Примером такого пространства может служить пространство С непрерывных функций на отрезке с обычной операцией сложения и умножения на действительные числа. Упомянутое выше пространство всех многочленов является подпространством пространства С [9, C.54].

Система векторов евклидова пространства называется ортонормированной, если векторы системы попарно ортогональны и имеют единичную длину.

Базис конечномерного евклидова пространства называется ортонормированным базисом, если образующие его векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину. Поскольку доказано, что в любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, будем рассматривать вмерном евклидовом пространстве только ортонормированные базисы.

Простейший пример евклидова пространства дает нам пространство — пространство столбцов, в котором скалярное произведение введено формулой.

Все евклидовы пространства размерности устроены так же, как пространство.

Величины, и характеризуют взаимное расположение векторов и не зависят от выбранного ортонормированного базиса.

В случае булевых векторов размерности n рассматриваемое пространство представляет собой множество вершин n-мерного гиперкуба с Хемминговой метрикой. Расстояние между двумя вершинами определяется длиной кратчайшего соединяющего их пути, измеренной вдоль ребер.

Важным для нейросетевых приложений случаем является множество векторов, компоненты которых являются действительными числами, принадлежащими отрезку [0,1]. Множество таких векторов не является линейным векторным пространством, так как их сумма может иметь компоненты вне рассматриваемого отрезка. Однако для пары таких векторов сохраняются понятия скалярного произведения и Евклидового расстояния [9, C.57].

Вторым интересным примером, важным с практической точки зрения, является множество векторов одинаковой длины (равной, например, единице). Образно говоря, «кончики» этих векторов принадлежат гиперсфере единичного радиуса в n-мерном пространстве. Гиперсфера также не является линейным пространством (в частности, отсутствует нулевой элемент).

Для заданной совокупности признаков, определяющих пространство векторов, может быть сформирован такой минимальный набор векторов, в разной степени обладающих этими признаками, что на его основе, линейно комбинируя вектора из набора, можно сформировать все возможные иные вектора. Такой набор называется базисом пространства. Рассмотрим это важное понятие подробнее.

Вектора x1, x2, …, xm считаются линейно независимыми, если их произвольная линейная комбинация a1x1 + a2x2 + … + amxm не обращается в ноль, если только все константы a1 … am не равны одновременно нулю. Базис может состоять из любой комбинации из n линейно независимых векторов, где n — размерность пространства.

Выберем некоторую систему линейно независимых векторов x1, x2, …, xm, где m < n. Все возможные линейные комбинации этих векторов сформируют линейное пространство размерности m, которое будет являться подпространством или линейной оболочкой L исходного n-мерного пространства. Выбранная базовая система из m векторов является, очевидно, базисом в подпространстве L. Важным частным случаем линейной оболочки является подпространство размерности на единицу меньшей, чем размерность исходного пространства (m=n-1), называемое гиперплоскостью. В случае трехмерного пространства это обычная плоскость. Гиперплоскость делит пространство на две части. Совокупность гиперплоскостей разбивает пространство на несколько множеств, каждое из которых содержит вектора с близким набором признаков, тем самым осуществляется классификация векторов [9, C.61].

Для двух подпространств может быть введено понятие их взаимной ортогональности. Два подпространства L1 и L2 называются взаимно ортогональными, если всякий элемент одного подпространства ортогонален каждому элементу второго подпространства.

Произвольно выбранные линейно независимые вектора необязательно являются взаимно ортогональными. Однако в ряде приложений удобно работать с ортогональными системами. Для этого исходные вектора требуется ортогонализовать. Классический процесс ортогонализации Грама-Шмидта состоит в следующем: по системе линейно независимых ненулевых векторов x1, x2, …, xm рекуррентно строится система ортогональных векторов h1, h2, …, hm. В качестве первого вектора h1 выбирается исходный вектор x1. Каждый следующий (i-ый) вектор делается ортогональным всем предыдущим, для чего из него вычитются его проекции на все предыдущие вектора:

При этом, если какой-либо из получившихся векторов hi оказывается равным нулю, он отбрасывается. Можно показать, что, по построению, полученная система векторов оказывается ортогональной, т. е. каждый вектор содержит только уникальные для него признаки.

Далее будут представлены теоретические аспекты линейных преобразований на векторами.

Равно тому, как был рассмотрен вектор — объект, определяемый одним индексом (номером компоненты или признака), может быть введен и объект с двумя индексами, матрица. Эти два индекса определяют компоненты матрицы Aij, располагаемые по строкам и столбцам, причем первый индекс i определяет номер строки, а второй j — номер столбца.

Суммой двух матриц A и B одинаковой размерности (n x m) является матрица С той же размерности с компонентами, равными сумме соответствующих компонент исходных матриц: Cij = Aij + Bij. Матрицу можно умножить на скаляр, при этом в результате получается матрица той же размерности, каждая компонента которой умножена на этот скаляр. Произведением двух матриц A (n x l) и B (l x m) также является матрица C (n x m), компоненты которой даются соотношением.

Заметим, что размерности перемножаемых матриц должны быть согласованными — число столбцов первой матрицы должно равняться числу строк второй.

В важном частном случае, когда вторая матрица является вектором (т.е. матрицей с одной из размерностей, равной единице (m=1)), представленное правило определяет способ умножения матрицы на вектор:

В результате умножения получается также вектор с, причем для квадратной матрицы A (l x l) его размерность равна размерности вектора-сомножителя b. При произвольном выборе квадратной матрицы A можно построить произвольное линейное преобразование y=T (x) одного вектора (x) в другой (y) той же размерности: y=Ax. Более точно, для того, чтобы преобразование T одного вектора в другой являлось линейным, необходимо и достаточно, чтобы для двух векторов x1 и x2 и чисел a и b выполнялось равенство: T (ax1 + bx2) = aT (x1) + bT (x2). Можно показать, что всякому линейному преобразованию векторов соотвествует умножение исходного вектора на некоторую матрицу [8, C.172].

Если в приведенной выше формуле для умножения матрицы A на вектор x компоненты этого вектора неизвестны, в то время, как A и результирующий вектор b известны, то о выражении A x = b говорят, как о системе линейных алгебраических уравнений относительно компонент вектора x. Система имеет единственное решение, если вектора, определяемые строками квадратной матрицы A, являются линейно независимыми.

Часто используемыми частными случаями матриц являются диагональные матрицы, у которых все элементы вне главной диагонали равны нулю. Диагональную матрицу, все элементы главной диагонали которой равны единице, называют единичной матрицей I. Линейное преобразование, определяемое единичной матрицей, является тождественным: Ix=x для всякого вектора x.

Для матриц определена, кроме операций умножения и сложения, также операция транспонирования. Транспонированная матрица AT получается из исходной матрицы A заменой строк на столбцы: (Aij)T = Aji. Матрицы, которые не изменяются при транспонировании, называют симметричными матрицами. Для компонент симметричной матрицы S имеет место соотношение Sij = Sji. Всякая диагональная матрица, очевидно, является симметричной.

Пространство квадратных матриц одинаковой размерности с введенными операциями сложения и поэлементного умножения на скаляр, является линейным пространством. Для него также можно ввести метрику и норму. Нулевым элементом служит матрица, все элементы которой равны нулю. В заключении приведем некоторые тождества для операций над матрицами. Для всяких A, B и C и единичной матрицы I имеет место:

IA = AI = A.

(AB)C = A (BC).

A (B+C) = AB + AC.

• (AT)T = A
• (A+B)T = AT + BT
• (AB)T = BTAT

Доказательство этих соотношений может служить полезным упражнением.

Также термин евклидово пространство может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов:

• 1. Конечномерное вещественное векторное пространство mathbb R^n с введённой на нём нормой:|x|=sqrt{x₁^2+x₂^2+dots +x_n²} = sqrt{sum_{k=1}^n x_k²}где x=(x₁, x₂, dots, x_n).
• 2. Метрическое пространство, которое является конечномерным векторным пространством mathbb R^n над полем вещественных чисел с «евклидовой метрикой «, введённой по формуле: d (x, y)=sqrt{(x₁-y₁)^2+(x₂-y₂)^2+dots (x_n-y_n)^2} = sqrt{sum_{k=1}^n (x_k-y_k)^2}, где x=(x₁, x₂, dots, x_n) и y=(y₁, y₂, dots, y_n)in mathbb R^n.
• 3. Конечномерное линейное пространство со скалярным произведением (положительно определенным), иначе говоря — конечномерное гильбертово пространство. В таком пространстве всегда можно ввести базис, в котором будет верно (1) и (2) (Конечномерное пространство с невырожденным скалярным произведением, не являющимся положительно определенным, называется псевдоевклидовым) [8, C.176].