Методика изучения конкретной теоремы

Работа учителя над теоремой многоэтапна. Выделим основные из этих этапов: 1) актуализация знаний, мотивация изучения теоремы; 2) формулировка теоремы и усвоение ее содержания; 3) доказательство теоремы; 4) закрепление и применение теоремы Заметим, что в каждом конкретном случае учитель сам решает, какие этапы с какой полнотой использовать, а без каких можно обойтись. Это зависит от особенностей класса, предыдущего опыта учителя, сложности теоремы для восприятия и др.

1-ый этап — актуализация знаний (опорное повторение) и мотивация изучения теоремы.

Технология организации опорного повторения: учитель.

• — разбивает доказательство на максимальное число шагов;
• — вычленяет все математические факты, на которые опирается доказательство;
• — анализирует, все ли они и в какой степени известны учащимся;
• — организует опорное повторение в форме беседы, фронтального опроса, системы подготовительных задач (чаще всего «на готовых чертежах» — см. далее).

Мотивация изучения теоремы чаще всего связывается учителем с решением практической задачи, в которой необходим факт, отраженный в теореме (см. пример на с. 30).

2-й этап — введение формулировки теоремы и усвоение ее содержания.

Опишем два основных способа введения формулировки теоремы.

1-й способ. Учитель сам формулирует теорему с предварительной мотивировкой либо без нее.

Спешить с формулировкой не следует. Только в том случае, если она проста, доходчива, можно начинать с формулировки. Если формулировка не отличается простотой, то учитель прежде всего вычерчивает фигуру, выясняет и записывает на доске условие, заключение теоремы и только после этого формулирует ее полностью.

Преимущества способа — краткость, четкость, экономия времени; недостаток — возможен формализм, догматизм.

2-й способ. Учащиеся подготавливаются к самостоятельному формулированию теоремы.

В планиметрии для этого часто используют упражнения на построение и измерение соответствующих фигур.

Пример. Для самостоятельного открытия учащимися теоремы о хордах окружности учитель предлагает следующие вопросы и задания:

• — Проведите в окружности две неравные хорды.
• — Установите на глаз, какая из них ближе к центру.
• — Сформулируйте свой вывод.
• — Можно ли считать его достоверным?¹¹ Последний вопрос чрезвычайно важен, с его помощью воспитывается потребность в логическом доказательстве: учащиеся должны понимать, что измерения всегда неточны, вывод, основанный на рассмотрении частных случаев, нельзя считать достоверным, — необходимо доказательство. Если исключить этот вопрос, то упражнения такого характера принесут не пользу, а вред: учащиеся не понимают, зачем надо доказывать. Этот прием следует повторять в новых ситуациях.

Преимущества способа — развитие творческих способностей учеников, повышение интереса к изучению геометрии; недостатки — большие затраты времени, возможное распыление внимание на несущественные детали.

После того, как теорема сформулирована, работаем над уточнением: оговариваем терминологию, выделяем условие и заключение теоремы. Параллельно выполняется краткая запись данных и того, что требуется доказать; строится чертеж.

Требования к чертежу:

• — должен быть изображен общий, а не частный случай;
• — размеры чертежа должны быть оптимальны;
• — данные и искомые выделяются на чертеже цветом, используются специальные метки и символы для обозначения.
• 3-й этап — доказательство теоремы.

Ранее (см. 3. 2) мы охарактеризовали основные логические и математические методы доказательства теорем.

Учебник во много определяет выбор метода доказательства: логического (прямое или косвенное, аналитическое, синтетическое или метод от противного) и математического (метод геометрических преобразований или метод равенства или подобия треугольников).

Учитель должен хорошо разбираться в структуре всех видов доказательства, уметь перевести синтетическое доказательство в аналитическое и наоборот; осознанно выбрать аналитический или синтетический путь рассуждений на уроке (в зависимости от возраста и уровня подготовки учащихся, профиля класса, возможных затрат времени и др.).

Учащиеся должны понимать, что процесс доказательства заключается в построении последовательной цепочки рассуждений, обоснованных с помощью уже известных математических фактов.

Заключение

 — последнее ее звено.

Как мы знаем, каждый шаг этой цепочки — силлогизм. В школе нет возможности, да и необходимости вводить термины «силлогизм», «большая посылка», «меньшая посылка». Обычно в обучении геометрии в основной школе пользуются терминами «шаг», «этап»: на каждом шаге доказательства указывается утверждение и его обоснование.

На первых порах для понимания структуры доказательства, после того, как оно найдено, полезно оформление его в виде двух колонок, в одной из которых — утверждения, в другой — обоснования.

Пример. Признак параллельности прямых.

Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Утверждение.	Обоснование.
1. 3 = 2.	Вертикальные углы равны.
2. 1 = 2.	По условию.
3. 1 = 3.	Как левые части верных равенств, у которых равны правые части.
4. а в.	1 и 3 — накрест лежащие углы при пересечении прямых, а и в секущей с.

?Наибольшая трудность — усвоение логики доказательства. Большую помощь тут могут оказать специальные карточки, которые могут применяться в качестве самостоятельной работы, домашнего задания, задания для индивидуального опроса и др.¹¹ Подробнее см.: Саранцев Г. И. Применение карточек при обучении доказательству // Математика в школе. 1976. № 3.

Техника их изготовления проста: опуская некоторые пункты в колонках «утверждение», «обоснование», получаем один из вариантов индивидуальной карточки, который может быть использован как лист с печатной основой (ученик вписывает недостающие фрагменты доказательства).

Методика использования карточек: выдается карточка, предлагается заполнить пустые места; разным группам учащихся предлагаются карточки с различной насыщенностью текста, осуществляя таким образом индивидуализацию обучения математике.

Для подготовки учащихся к изучению доказательства теоремы многие учителя пользуются приемом составления плана доказательства. Обычно выделяется два этапа.

1 подход. Дается готовый план доказательства новой теоремы, учащимся предлагается самим доказать ее с помощью плана.

Пример. К теореме «Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то он является параллелограммом» предлагается такой план:

• 1. Провести диагональ
• 2. Доказать равенство полученных треугольников
• 3. Доказать параллельность противоположных сторон четырехугольника
• 4. Сделать вывод. ?

План демонстрируется классу, например, на экране с помощью интерактивной доски, мультимедиапроектора или кодоскопа. Такую новую форму задания учащиеся воспринимают с исключительным интересом. Как только план появляется на экране, они затихают — думают. Очень многие изъявляют затем желание отвечать. Чем объяснить такой повышенный интерес?

Во-первых, план разбивает доказательство теоремы на ряд простых, элементарных шагов, которые учащиеся уже могут выполнить. Если они еще не научились их выполнению, то план давать не стоит.

Во-вторых, учащиеся чувствуют, что с помощью плана они смогут доказать новую теорему. Не слушать и запоминать, а самостоятельно доказать. Это весьма импонирует им.

В-третьих, план позволяет охватить все доказательство в целом, добиться полноты понимания. Следовательно, ослабляется отрицательное влияние, когда установка на запоминание затрудняет понимание. Это приводит к уверенности, возрастает желание работать.

2-й подход. Учащихся учат составлять план уже доказанной теоремы. Сначала эта работа выполняется коллективно, а затем самостоятельно. Причем, здесь учителю приходится неоднократно показывать образцы составления плана. Учащиеся свободно воспринимают готовый план, но не сразу у них появляются умения и навыки составления плана. Очень хорошие результаты получаются в тех случаях, когда для доказательства нескольких теорем дается один общий план. Такие теоремы, объединенные общей идеей, усваиваются особенно продуктивно.

Как мы уже говорили, в учебниках планиметрии представлены краткие синтетические доказательства теорем. Учитель должен систематически учить учащихся:

• 1) конструировать доказательства из шагов;
• 2) превращать сокращенные книжные доказательства в развернутые цепочки шагов с указанием обоснований;
• 3) оформлять полные записи доказательства отдельных теорем.

Приведем пример полной записи доказательства теоремы по шагам.

Пример. Полное доказательство признака параллельности прямых (формулировка и краткая запись доказательства даны на предыдущей странице).

Пусть при пересечении прямых, а и в секущей с имеем углы, например, 2 и 3 — вертикальные, 1 и 3 — накрест лежащие.

• 1. Так как 3 и 2 — вертикальные углы, то 3 = 2 (вертикальные углы равны).
• 2. Так как 1 = 2 и 3 = 2, то 1 = 3 (если правые части в верных равенствах равны, то равны их левые части).
• 3. Так как 1 и 3 — накрест лежащие углы при пересечении прямых, а и в секущей с и 1 = 3, то, а в (если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны).

Теорема доказана .

В процессе доказательства необходимо полностью использовать условие теоремы. Один из путей — обсуждение, на каких этапах и как применена та или другая часть условия, все ли они использованы при доказательстве.

Для обеспечения усвоения доказательства широко применяется прием двукратного доказательства: сначала обсуждается только идея, план; доказательство излагается фрагментарно. После этого доказательство излагается полностью, со всеми тонкостями и нюансами.

В опыте В. Ф. Шаталова используется сверхмногократное повторение доказательства, причем, часто на уровне идеи, плана.

4-й этап — закрепление и применение теоремы Этап закрепления теоремы предполагает работу по выявлению, поняты ли сущность самой теоремы, идея, метод доказательства и отдельные его шаги. Приемы закрепления могут быть таковы:

• — в процессе беседы с учащимися еще раз выделить основную идею, метод и шаги доказательства;
• — предложить объяснить отдельные шаги доказательства;
• — перечислить все аксиомы, теоремы и определения, которые используются в доказательстве;
• — выяснить, где используется то или иное условие, все ли они оказались использованными;
• — нет ли других способов доказательства;
• — при закреплении полезно варьировать обозначения на чертеже, а также сам чертеж и т. п.

Применение теоремы организуется в процессе решения задач, в которых она используется. Нужно иметь в виду, что не всегда учебник предлагает систему задач на применение конкретной теоремы, чаще даются отдельные задачи, которые опытный учитель может дополнять. Применяются теоремы и при доказательстве других теорем последующего курса планиметрии и стереометрии.

Организационные приемы работы по изучению и закреплению теоремы на уроке геометрии Приемы организации работы по изучению теорем.

При изучении теорем используются разные приемы организации работы. Самый распространенный из них: изучение теоремы и ее доказательство проводит сам учитель. Значительно полезнее делать это самим ученикам. Рассмотрим приемы работы подобного характера.

Сущность первого из приемов. Вызывается учащийся, он записывает на доске условие теоремы полностью, оформляет рисунок, чертеж и т. д. И этот же учащийся находится у доски на протяжении всего процесса доказательства теоремы. Он и высказывает идею доказательства, записывает и обосновывает его. Этот прием имеет ряд недостатков.

• — в классе возникает ситуация, когда остальные учащиеся пассивны и вынуждены списывать с доски;
• — ход урока ставится в зависимость от вызванного к доске учащегося. Если он доказывает теорему уверенно, все идет гладко. В противном случае затягивается время, учитель нервничает, в классе возникает шум и т. д.;
• — поскольку ход урока во многом зависит от вызванного к доске учащегося, внимание учителя в основном приковано к этому ученику. Учитель меньше работает с классом.

Для устранения перечисленных недостатков целесообразно использовать второй прием организации работы по доказательству теорем.

Работа учащихся над теоремой разбивается на отдельные этапы.

• а) усвоение условия,
• б) обдумывание идеи доказательства,
• в) коллективное обсуждение идей,
• г) оформление теоремы.

Эти задания у доски выполняют поочередно несколько учащихся. Охарактеризуем работу ученика на каждом из этапов.

• а) Усвоение условия теоремы. Один из учащихся кратко записывает на доске условие, анализирует его. Затем вызванный учащийся садится на место.
• б) Классу дается задание: наметить и продумать идею доказательства теоремы. Выдерживается пауза достаточной длительности от 1−2 минуты и более. Во время паузы учащимся рекомендуется делать наброски доказательства на черновике, разрешается советоваться с товарищем по парте.

Так, как каждый учащийся ожидает вызова, то во время паузы он не может думать ни о чем, кроме задания. Тем самым в классе создается удачная психологическая ситуация, которая заставляет активно работать каждого.

• в) Классу предлагается обсудить идею доказательства теоремы. Иногда рассматривают несколько способов, выбирают из них наиболее рациональный. Учитель постепенно приучает высказывать идею доказательства в виде краткого плана без подробных обоснований. В конце дискуссии учитель объявляет оценки тем учащимся, которые объяснили идею доказательства теоремы перед всем классом.
• г) Классу предлагается оформить доказательство. Можно использовать следующие варианты:
  • — одному из учащихся предлагается записать доказательство на доске. За это ему также ставится оценка. Остальные учащиеся записывают в тетрадях. После обсуждения большинство учащихся представляют себе весь ход и им незачем списывать с доски;
  • — предлагается устно изложить доказательство теоремы с подробными объяснениями. За это еще одному учащемуся ставится оценка;
  • — доказательство теоремы предлагается записать самостоятельно;
  • — иногда учитель заранее планирует для теоремы выполнить только три первые задания. А записать доказательство предлагается либо во время самостоятельной работы в конце урока, либо дома.

Итак, прием деления на отдельные задания имеет целый ряд преимуществ, в частности, он в большей мере соответствует дидактическому принципу последовательного преодоления трудностей.

Нельзя обойти вопрос о некоторых модификациях одного и того же доказательства. Они особенно эффективны для индивидуальной работы со слабым учеником. Модификация доказательства часто сводится к использованию разных чертежей. Разнообразные чертежи, иллюстрирующие доказательства, не привязывают ученика к одному чертежу, не дают ему возможности зазубривать доказательство.

Приемы организации работы при закреплении теорем При закреплении теорем, как и при их введении, учителю приходится учитывать два обстоятельства: необходимо сформировать у учащихся навыки применения теоремы, учащиеся должны понять и запомнить ее доказательство.

Первый прием. Сразу после объяснения новой темы одному или нескольким учащимся предлагается повторить ее, остальным — слушать. Обычно вызываются учащиеся по желанию, а, следовательно, в основном хорошо успевающие. Такой прием приводит к следующим результатам:

• — вызванные учащиеся, как правило, почти дословно воспроизводят объяснение учителя, опуская лишь те детали, которые не успели запомнить. Имеет место однообразие, повторение, что неэффектно;
• — большинство учащихся слушают пассивно;
• — однообразная, пассивная работа снижает интерес учащихся к уроку и ослабляет их внимание;
• 4. В психологии установлено, что забывание наиболее интенсивно протекает сразу после изучения материала, а потом оно замедляется. По этой закономерности те учащиеся, которые слушают внимательно, повторяют материал тут же на уроке, забывают его медленнее.

Этот прием приносит гораздо большую пользу, когда изученное доказательство теоремы на этом же уроке повторяют по измененному чертежу, с другими буквенными обозначениями. Такое повторение не является столь однообразным, оно требует от учащихся более активной мыслительной деятельности.

Второй прием. Чтобы повторить узловые части только что рассмотренной теоремы, учитель задает классу несколько вопросов. Этот прием требует меньшей затраты учебного времени, спросить удается не одного, а нескольких учащихся, класс принимает более активное участие в повторении.

Третий прием. Перед объяснением новой теоремы учитель предлагает послушать доказательство и одновременно составить план. Затем это задание повторяется. Прием очень эффективен, но только в тех классах, где предварительно проведена кропотливая работа по оформлению умений составлять план.

Четвертый прием. Доказательство рассмотренной теоремы не повторяется на данном уроке. Класс сразу преступает к решению задач по новой теме. Она закрепляется на задачах. А за 3 — 5 минут до звонка учитель подводит итог урока. Он предлагает не просто воспроизвести, пересказать изученное на уроке, а задает вопросы, которые заставляют учащихся выделить из нового материала главное, сопоставить с прежними знаниями, сравнить, обобщить и т. д. И все это связывается с только что решенными задачами по новой теме.

При такой форме подведения итога урока новый материал хорошо запоминается, так как он повторяется сразу после момента наиболее интенсивного забывания, а мыслительная деятельность учащихся разнообразна и активна.

Рассмотрим некоторые приемы повторения изученных теорем при проверке домашнего задания (на последующих уроках).

Первый прием. К доске вызывается учащийся. Ему дается время для подготовки к ответу. Он выполняет чертеж, записывает кратко условие и заключение теоремы, необходимые преобразования, продумывает ответ. Класс в это время занят другой работой. Затем вызванный учащийся отвечает, остальные слушают.

Второй прием. К доске для подготовки к ответу вызываются одновременно несколько учащихся. Класс в это время выполняет другую работу. Затем вызванные учащиеся поочередно отвечают, остальные слушают. Второй прием в отличие от первого позволяет несколько экономить учебное время. Поэтому этот прием называют уплотненным опросом.

Третий прием. К началу урока дежурные по классу записывают на доске основные преобразования из доказательств теорем, чертежи ко всем теоремам и задачам, заданным на дом. Учитель дает задание: доказать теорему или обосновать записанное на доске преобразование, или изложить решение задачи. Выдерживается пауза. Все замолкают, готовятся к ответу. В ожидании вызова одни учащиеся напряженно смотрят только на доску, другие — в тетради или в учебники. Желательно чтобы учебники были открыты. Затем к доске вызываются учащийся. Его слушают гораздо внимательней, чем при уплотненном опросе, т. к. к ответу готовился весь класс. Каждый учащийся легче и быстрее улавливает неточности в ответе вызванного товарища и готов высказать необходимые дополнения, замечания, поправки. Если ученик отвечает плохо, учитель вызывает на помощь любого другого, поскольку время на подготовку к ответу давалось всему классу. Вызванный ученик должен соблюдать общую схему ответа: формирует теорему, указывает, что дано и что требуется доказать, а затем излагает доказательство. Затем таким же образом проверяются теоремы, задачи. Такой опрос проходит обычно более четко, чем уплотненный опрос, при большей активности учащихся и меньшей затрате учебного времени.

Пример работы над теоремой о средней линии трапеции Логико-математический анализ теоремы: «средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме».

Теорема сформулирована в категорической форме.

Сформулируем ее в условной форме, выделив явно разъяснительную часть: в любой трапеции, если есть ее средняя линия, то она параллельна основаниям и равна их полусумме.

Итак, структура теоремы такова:

Разъяснительная часть — в любой трапеции;

Условие — отрезок есть средняя линия трапеции;

Заключение

 — 1) отрезок параллелен основаниям; 2) отрезок равен полусумме оснований.

Теорема содержит два заключения, значит она сложная по структуре (но не обязательно сложным является ее доказательство).

Этапы обучения доказательству теоремы (в основе проблемное обучение, метод эксперимента).

• 1-й этап. Мотивация необходимости изучения данной теоремы: решение небольшой практической задачи, проблемная ситуация.
• 2-й этап. Актуализация опорных знаний (расчленить теорему на ряд элементарных шагов и выявить опорные знания, необходимые для понимания доказательства). Формы организации: кратковременная самостоятельная работа, решение обобщающей задачи.

Проанализировав доказательство теоремы, следует выделить опорные знания и повторить их на этапе актуализации. В данном случае уместно повторить свойство средней линии треугольника и решить следующую задачу.

Дано: ABO и DCO, АВ||CD, BO=CO.

Доказать: ABO=DCO.

3-й этап.

Введение

теоремы.

Возможно дедуктивное введение теоремы и синтетический способ ее доказательства.

Однако активизации познавательной деятельности учащихся будет способствовать метод эксперимента. Свойства средней линии трапеции можно «открыть» параллельно с процессом построения средней линии в произвольных трапециях. Учащимся предлагается:

Сравнить визуально взаимное расположение средней линии и оснований трапеции;

Построить отрезок, длина которого равна сумме длин оснований трапеции. Сколько раз средняя линия укладывается на этом отрезке?

На основе выполнения задания выдвигается гипотеза о том, что средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна ее половине.

Далее формулируется теорема, делается чертеж, записывается, что дано и требуется доказать.

Дано: ABCD — трапеция, AD и ВС — основания, QP — средняя линия.

Доказать:

• 1) QP||AD, QP||BC,
• 2) QP=½(AD+BC).
• 4-й этап. Анализ. Поиск путей доказательства:

Дайте определение трапеции. Какие прямые в нашем случае параллельны, как они называются? Требуется доказать, что средняя линия параллельна двум основаниям, то есть двум параллельным прямым. Как упростить путь доказательства этого факта? Достаточно доказать параллельность одному из оснований.

Чем можно воспользоваться? Для какой фигуры, кроме трапеции определено понятие средней линии? Нельзя ли использовать теорему о средней линии треугольника для доказательства? Можно ли отыскать или провести дополнительные построения, чтобы получить треугольник, средняя линия которого совпадает со средней линией трапеции?

• 5-й этап. Синтез. Составление плана доказательства.
• 6-й этап. Осуществление доказательства. Запись.

Доказательство:

• 1. Дополнительное построение: проведем луч ВР до пересечения с лучом AD. Е — точка пересечения.
• 2. Рассмотрим BCP и EDP:

СР=DP (P — середина CD),.

BPC=EPD (как вертикальные углы),.

BCP=EDP (как накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей CD),.

BCP=EDP (по второму признаку).

Значит BC=DE, BP=PE (из равенства треугольников).

3. ABE:

Q — середина AB, P — середина CD,.

QP — средняя линия ABE:

QP||AE, QP=½AE=½(AD+DE)=½(AD+BC) (по свойству средней линии и по построению).

• 4. BC||AD, QP||AD, значит QP||BC (по теореме о параллельности двух прямых третьей).
• 7-й этап. Усвоение содержания теоремы и ее доказательства:

Повторить формулировку теоремы и основные этапы ее доказательства или предложить учащимся прочитать соответствующий материал в учебнике.

Можно также применить и другой порядок работы:

Наметить план доказательства;

Провести доказательство устно;

Провести повторное доказательство с краткой записью.

8-й этап. Первичное закрепление теоремы. Уместны устные задачи по готовым чертежам. Например, такие:

Доказать, что ВН — высота трапеции.

9-й этап. Применение теоремы Проанализировать систему упражнений учебника на применение свойств средней линии трапеции. Подобрать ключевые задачи по теме для решения их на специальном уроке.