Метод Гуммеля—Пуна. 
Физика полупроводниковых приборов микроэлектроники

Метод Гуммеля—Пуна [9] состоит в представлении электронного тока 1_П через активную базу в виде функции от напряжений на переходах и полного заряда Q_p основных носителей (дырок) в активной электронейтральной базе. На рис. IV.7.3 показаны распределения дырок в р-базе для равновесного (р_;;0) и неравновесного (р_р) состояний. Последнее соответствует режиму насыщения (V_he > 0, V_hc > 0). Как и на рис. IV.6.1, а, координата х отсчитывается от поверхности кристалла, х_{)Е jC} — координаты металлургических переходов эмиттер—база, коллектор—база, а х_|090 и х_|2 — равновесные и неравновесные границы нейтральной базы. Штриховая линия показывает распределение примеси в базе.

Задача решается при следующих допущениях:

1) рекомбинация в базе отсутствует и в стационарном состоянии электронный ток в базе не зависит от координаты х;

Рис. IV.7.3. Распределение дырок в активной базе для равновесного состояния и для режима насыщения (^>0, V_bc > 0).

• 2) коэффициент диффузии электронов в базе D_B не зависит от координаты х;
• 3) дырочный ток в базе мал: I_n «I_р ~ 0.

Отметим, что эти допущения являются значительно более слабыми, чем допущения идеализировнной модели транзистора, и в реальных транзисторах выполнены с высокой точностью. В частности, сняты допущения о низком уровне инжекции, о постоянном значении длины базы w_B и об однородном легировании базы.

При допущениях 1 и 3 справедливо уравнение (IV.6.14).

где напряженность поля найдена из условия j = 0. Умножая это уравнение на eS²_K, и интегрируя по всей базе (от х, до х₂ на рис. 1V.7.3), получаем.

Выражение в квадратных скобках левой части (1V.7.2) есть полный заряд дырок в базе

В правой части произведения п_р(х_{2)р_р(х_{{ 2}) определяются граничными условиями (П. 3.4а) на границах с ОПЗ.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

(справедливыми для произвольного уровня инжекции). Таким образом, Уравнение (IV.7.4) называется уравнением Гуммеля—Пуна. Его можно записать в виде.

— равновесный заряд дырок в базе (при V_he = V_hc = 0);

или где.

— электронный тепловой ток эмиттерного перехода;

— равновесное число Гуммеля в базе.

Отметим, что соотношения (1V.7.8) и (1V.7.9) совпадают с (IV.6.26) и (IV.6.27), полученными в параграфе IV.6.3, однако относятся к равновесному состоянию. Потому величины I_Sn и G_B0, как и Q_B0, являются параметрами транзистора, г. е. числами, не зависящими от его электрического состояния. Заряды Q_B и Q_B0 на рис. IV.7.3 соответствуют площадям под кривыми р_р(х) и Р_р0(.1-).

Соотношения (IV.7.5) — (IV.7.6) показывают, что заряд Q_B и каждый из токов I_m, 1 _пс являются функциями двух напряжений V_be, V_hl:

Для их определения кроме (IV.7.6a) и (IV.7.66) необходимо еще одно уравнение. Оно будет получено из анализа структуры заряда Q_K, определенного в (IV.7.3). Как очевидно из рис. IV.7.3, заряд Q_B может быть представлен в виде суммы.

где значение равновесного заряда Q_B0 определено в (IV.7.7),.

и

— заряды в барьерных емкостях эмиттерного перехода С_Е и коллекторного перехода С_с (затемненные площади на рис. IV.7.3);

— заряд в диффузионной емкости базы, который согласно рисунку IV.4.6 является суммой нормальной и инверсной составляющих Q_DBN и Q_DBI, определенных в (IV.4.27):

В соотношение (IV.7.12) следует подставить (IV.7.13a, б) с учетом (IV.7.6a, б), а затем результаты (IV.7.12) и (IV.7.11а, б) собрать в (IV.7.10). В результате получаем квадратное уравнение относительно переменной Q_B, которое имеет решение.

В итоге уравнения (IV.7.5), (IV.7.6a, б), (IV.7.14) и (7.15а, б) определяют сквозной электронный ток 1_п через активную базу как функцию напряжений V_be и V_hc. Ток 1_п назван здесь сквозным, так как при допущении 1) он проходит через базу без изменений.

Функция I_n(VM содержит четыре параметра: Q_B0, I_Sn, T_N и Tj. Кроме этого, уравнения (IV.7.11а, б), определяющие функции Q_E(V_be) и QciV^y содержат параметры ВФХ барьерных емкостей C_E(V_be) и C_c(V_bc), которые все равно должны быть заданы для их включения в эквивалентную схему.

Изящество метода Гуммеля—Пуна состоит в том, что зависимость 1_п(Уь_еУьс) удалось определить без отыскания конкретного вида функции распределения концентрации носителей в базе р"(х). Здесь следует заметить, что, к сожалению, метод Гуммеля—Пуна не является математически безупречным. Строго говоря, значения времен пролета T_N и Tj не являются параметрами, т. е. числами, не зависящими от электрического состояния транзистора. Действительными параметрами могли бы служить значения r_vo и Г_/0, соответствующие равновесному состоянию, которые и задаются при практическом моделировании.

Тем не менее метод Гуммеля—Пуна является значительно более мощным, чем феноменологический метод Эберса— Молла. Его преимущества состоят в следующем:

• 1) автоматический учет последствий эффекта Эрли;
• 2) автоматический учет последствий изменения уровня инжекции в базе;
• 3) возможность учета нелинейности сопротивления активной базы.

Эффект Эрли учитывается функциями Q_E(V_}u,) и Q^iV^) в уравнении (1V.7.14) для полного заряда дырок в базе Qii (V_hejV_hc). В моделях биполярного транзистора, которые используются в SPiCE-подобных системах автоматизированного проектирования И С, для ускорения вычислений и облегчения процедуры экспериментальной верификации параметров модели вместо уравнения (IV.7.14) используется приближенное соотношение.

где V_IRLN и V_lRLl — нормальное и инверсное напряжения Эрли (см. параграф IV.5.2).

Пренебрежение эффектом Эрли соответствует нулевым зарядам Q_F и в (IV.7.14) или бесконечным значениям напряжений Эрли в (IV.7.16a):

Механизм учета произвольного уровня инжекции заложен в параметрах I_KN и 1_кп определенных в (IV.7.15а, б). Чтобы продемонстрировать действие этого механизма, положим для простоты V_hc = 0 и пренебрежем эффектом Эрли. При этом в (IV.7.66) 7″_с = 0 и из (IV.7.6a), (IV.7.166) получаем.

При низком уровне инжекции (I_Sn / 1_ш)(е^Уье/ь' -1)1 /4 и зависимость.

совпадает с классической ВАХ идеализированного диода. При высоком уровне инжекции (I_Sn /1_KN)(e^Vbe/n -1)"¼, _ehe/n «i и BAX тока имеет вид.

характерный для высокого уровня инжекции.

Таким образом, параметры I_KN и 1_К1 характеризуют токи инжекции через эмиггерный и коллекторный переходы, при которых уровень инжекции близок к 1. Эти токи могут быть определены экспериментально. При I_KN К1 —>°° уравнения (IV.7.5), (IV.7.6a, б) и (IV.7.14) перестают учитывать уровень инжекции.

Дополнительным преимуществом метода Гуммеля—Пуна является возможность учета изменения сопротивления активной базы при повышении уровня инжекции. Сопротивление базы должно снижаться пропорционально повышению полного количества основных носителей (т.е. пропорционально отношению Q_B0 / Q_B), что легко обеспечить в компьютерной модели транзистора.

Принципиальным недостатком метода Гуммеля—Пуна является невозможность учета эффекта оттеснения эмиттерного тока (см. параграф IV.5.4).