Исследование устойчивости систем автоматического регулирования

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ БАЛАКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ТЕХНИКИ, ТЕХНОЛОГИИ И УПРАВЛЕНИЯ КАФЕДРА «УПРАВЛЕНИЕ И ИНФОРМАТИКА В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ»

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

по дисциплине «Теория автоматического управления»

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Выполнила:

ст. гр. УИТ — 51 в

Люшина Н.Н.

Проверила:

Комлева О.А.

Цель работы: изучить методы исследования устойчивости стационарных и нестационарных линейных непрерывных и дискретно-непрерывных САР.

Дана передаточная функция разомкнутой системы:

ПФ замкнутой системы будет иметь вид:

Характеристическое уравнение для замкнутой системы:

1. Определим устойчивость системы по критерию Гурвица:

Первым (необходимым) условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Условие выполняется.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все миноры определителя Гурвица были положительны.

Характеристическое уравнение имеет вид:

Запишем определитель Гурвица:

Система устойчива.

2. Определим устойчивость по критерию Льенара-Шипара.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы диагональные миноры определителя Гурвица с нечетными индексами были положительны.

Условие выполняется, следовательно, система устойчива.

3. Определим устойчивость по критерию Раусса:

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты первого столбца таблицы Раусса были положительны.

Рассчитаем 3 строку таблицы:

дискретный годограф автоматический устойчивость

Условие выполняется, следовательно, система устойчива.

4. Определим устойчивость по критерию устойчивости Михайлова

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от нуля до бесконечности повернулся против часовой стрелки, начиная с вещественной оси, на число квадрантов, равное порядку характеристического уравнения, последовательно проходя эти квадранты, и в последнем квадранте уходил в бесконечность.

Заменим р на jw и получим характеристический вектор:

Выделим вещественную и мнимые части:

Задаваясь значениями w от нуля до бесконечности вычислим U (w) и jV (w). Результаты вычислений занесем в таблицу:

Рисунок 1. Годограф Михайлова

Из рисунка 1 видно, что условие устойчивости по Михайлову выполняется: годограф поворачивается против часовой стрелки, проходит последовательно два квадранта, и во втором квадранте уходит в бесконечность. Следовательно, система устойчива.

5. Определим устойчивость по критерию устойчивости Найквиста:

а) Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно при устойчивой разомкнутой системы, чтобы годограф Найквиста, построенный для замкнутой системы, не охватывал начало координат.

б) Для устойчивости замкнутой системы при устойчивой разомкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста, построенный для разомкнутой системы, не охватывал точку (-1;j0).

в) Для устойчивости замкнутой системы при неустойчивой разомкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста, построенный для разомкнутой системы, охватывал точку (-1;j0).

Проверим на устойчивость разомкнутую систему по критерию Гурвица. Характеристическое уравнение для этой системы имеет следующий вид:

,, .

Первый диагональный минор определителя Гурвица положителен, второй равен нулю. Следовательно, разомкнутая система находится на границе устойчивости. Поэтому рассмотрим только два признака устойчивости. Построим годограф Найквиста для разомкнутой системы, воспользовавшись программной средой Matlab 6.5. Получаем следующий график:

Рисунок 2. Годограф Найквиста для разомкнутой системы

Годограф Найквиста для разомкнутой системы не охватывает точку (-1;j0). Следовательно, замкнутая система устойчива.

6. Определим устойчивость по критерию устойчивости Ляпунова:

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения замкнутой системы имели отрицательные действительные части, т. е. лежали в левой полуплоскости.

Рисунок 3. Корни характеристического уравнения замкнутой системы

Т.к. корни характеристического уравнения замкнутой системы лежат в левой полуплоскости, система устойчива.

7. Определение устойчивости с помощью Д-разбиения по одному параметру:

(1)

Для заданного характеристического уравнения (1) построим область устойчивости по параметру а4=0.75.

Выразим параметр а4 из уравнения (1)

Заменим p на j? и приравняем правую часть к 0.

Выделим действительную и мнимую части.

Рисунок 4. Д-разбиение

Определим область наибольшей устойчивости:

k+i=n,

где k — количество «отрицательных» корней уравнения,

n — порядок характеристического уравнения,

i — область наибольшей устойчивости.

Определим корни уравнения

Тогда i=n-k=2−1=1. Получили, что областью наибольшей устойчивости является область 1. Коэффициент а4=0.75 также принадлежит этой области.

8. Определение устойчивости дискретной системы.

Предположим, что исходная система дискретна c периодом дискретизации T0=0,2 c. Тогда для устойчивости замкнутой дискретной системы необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения имели действительные части, расположенные внутри единичной окружности, лежащей на комплексной плоскости.

Определим передаточную функцию замкнутой дискретной системы.

Воспользуемся таблицей прямых и обратных z-преобразований для преобразования каждой дроби:

Рассмотрим последнюю дробь. Умножим и разделим числитель на 0.5, а знаменатель — на 0.75. Получим:

Из таблицы z-преобразований воспользуемся следующей формулой, соответствующей данной передаточной функции:

Тогда:

Тогда z-преобразование исходной передаточной функции для замкнутой системы будет иметь вид:

Для получения переходной функции умножим полученное изображение на фиксатор (z-1)/z:

Определим устойчивость дискретной системы. Для этого необходимо, чтобы характеристического уравнения имели действительные части, расположенные внутри единичной окружности. (Re<1)

Характеристическое уравнение дискретной системы имеет вид:

Определим его корни.

Как видно из последнего выражения, не все корни имеют действительные части внутри единичной окружности. Следовательно, дискретная система неустойчива.

9. Определение устойчивости по критерию Шур-Кона.

Для устойчивости по критерию Шур-Кона необходимо и достаточно, чтобы диагональные миноры определителя Шур-Кона для нечетных индексов были меньше нуля, для четных — больше нуля.

Приравняем ХУ дискретной системы к нулю и разделим обе части получившегося уравнения на 25 000.

Здесь

По характеристическому уравнению запишем коэффициенты в виде определителя

Составим определители Шур-Кона для каждого значения k.

Из полученных значений определителей следует, что условие устойчивости по Шур-Кону выполняется. Следовательно, дискретная система устойчива.