Кинематика твёрдого тела

Движение тел³, размерами которых пренебречь нельзя, в общем случае может быть достаточно сложным. Задача описания такого движения становится проще, если представить сложное движение как суперпозицию поступательного и вращательного движений.

Поступательным движением называется такое движение, при котором прямая, проходящая через любые две точки тела, в процессе движения остаётся параллельной самой себе.

Вращательным движением относительно неподвижной оси называется такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой — на оси вращения.

Вращение тела вокруг неподвижной оси

Пусть твёрдое тело за время ск совершило бесконечно малый поворот на угол с/ф относительно неподвижной в данной системе отсчёта оси. Этот угол поворота с/ср является мерой изменения положения тела, вращающегося относительно неподвижной оси. По аналогии с с/r, будем называть с/ф угловым перемещением. Единица измерения углового перемещения — радиан.

Понятно, что тело может совершить поворот либо по часовой, либо против часовой стрелки. Это значит, что угловое перемещение с/ср

³ Термин «тело» будет использоваться вместо термина «абсолютно твёрдое тело».

должно характеризоваться не только величиной, но и направлением. Следовательно, d<�р — вектор. Модуль вектора <�Уср равен углу поворота тела */ср. Направление вектора dtр определяют с помощью правила правого винта.

Правило правого винта для углового перемещения: а) поставить винт параллельно оси вращения; б) вращать правый винт в направлении вращения тела; в) направление поступательного движения винта покажет направление вектора dtр.

Векторы, направление которых вводится подобным образом, не являются истинными векторами. Это псевдовекторы. Строгое наименование подобных векторов — аксиальные векторы. Отличие аксиального вектора от истинного вектора заключается в том, что направление истинных векторов вводить не нужно — оно естественным образом вытекает из их природы (вектор перемещения, скорости и т. д.), а для аксиальных векторов вводится искусственно с помощью правила правого винта.

Обратите внимание на очень важную особенность вращательного движения. Поскольку расстояние между различными точками абсолютно твёрдого тела не изменяется, постольку все точки за время dt поворачиваются на один и тот же угол </<р.

В то же время линейное перемещение dr точек, находящихся на разных расстояниях от оси вращения, различно. Однако, поскольку dr и dtp описывают изменение положения одной и той же точки вращающегося тела, поэтому они связаны между собой. В векторной форме связь dr и dtp имеет вид dr = [<�Уср, г].

В правильности выбора операции, связывающей величины dr, dtр и г, легко убедиться следующим образом.

Из векторной алгебры известно, что вектор с, равный векторному произведению векторов, а и b (с = [а, Ь]) направлен в соответствии с правилом правого винта для векторного произведения:

• а) совместить начала векторов, а и Ь;
• б) поставить правый винт перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы а и Ь;
• в) вращать винт от вектора, записанного в произведении первым к вектору, записанному вторым в сторону наименьшего угла;
• г) направление поступательного движения винта покажет направление вектора с.

В рассматриваемой ситуации (см. рисунок) винт следует вращать от вектора скр к вектору г по часовой стрелке. Направление поступательного движения винта совпадёт с направлением вектора dr. Это и подтверждает правомерность выбора операции, связывающей векторы dr, с/ф и г.

Во вращательном движении, как и в поступательном, используется характеристика быстроты изменения положения — угловая скорость со. По определению угловая скорость равна.

Из определения следует, что направление вектора угловой скорости совпадает с направлением вектора <�Уф.

Обратите внимание на то, что так как все точки вращающегося твёрдого тела за время dt поворачиваются на один и тот же угол сЛр, угловая скорость всех точек вращающегося тела одинакова.

Во вращательном движении используется и характеристика быстроты изменения скорости — угловое ускорение б. По определению угловое ускорение равно.

Направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора </со, т. е. вектора приращения угловой скорости (обратите внимание, угловое ускорение совпадает по направлению не с угловой скоростью, а с её приращением).