Лекция 2. Течение вязкой жидкости. 
Ламинарное и турбулентное течения, число Рейнольдса. 
Движение тела в жидкостях и газах. 
Сила лобового сопротивления и подъёмная сила. 
Подъёмная сила крыла самолёта, формула Жуковского

Рассмотрим течение смачивающей жидкости по горизонтальной трубе круглого сечения радиуса r. Жидкость считаем несжимаемой и вязкой. Предположим, что течение стационарное и происходит цилиндрическими слоями, параллельными стенкам трубы.

Обозначим скорость течения в некоторой точке поперечного сечения трубы v, расстояние этой точки от оси трубы у.

Выделим внутри жидкости элементарный цилиндрический объем с осью, совпадающей с осью трубы, и боковой поверхностью, параллельной стенкам трубы и проходящей через точку с координатой у. Высоту цилиндра вдоль течения обозначим (Рис. 1). Так как движение стационарное и равномерное, то силы давления, действующие на основание цилиндрического объема, и сила вязкого трения, действующая на боковую поверхность цилиндра.

должны уравновешиваться.

Cледовательно, После интегрирования, полагая, что у стенок имеет место прилипание жидкости, т. е. скорость на расстоянии r от оси равна нулю (vr=0), получим:

Это соотношение устанавливает закон распределения скоростей течения в данном сечении трубы. Считая падение давления на единицу длины трубы постоянным () и объединяя постоянные, получим:

т. е. скорость частиц жидкости распределяется в сечении трубы по параболическому закону. Вершина параболы лежит на оси трубы (Рис. 1).

Непосредственную опытную проверку этого закона провести трудно, так как любой измеритель скорости, помещенный в трубу, искажает распределение скоростей в месте измерения. Поэтому подсчитаем расход жидкости (количество жидкости, протекающей через сечение трубы за единицу времени) в предположении, что выражение (1) справедливо, а затем сравним его с фактически измеренным расходом. Так как скорость частиц жидкости зависит от расстояния от стенки трубы, то мы подсчитаем элементарный расход жидкости через кольцевое сечение радиуса у и толщиной dy (Рис. 2), в пределах которой скорость течения можно считать постоянной.

За единицу времени через площадь кольцевого сечения вытекает объём жидкости:

или с учетом равенства (1).

Интегрируя по всем кольцевым сечениям от 0 до r, получим расход жидкости в трубе:

.

Разделив расход жидкости на площадь поперечного сечения трубы получим среднюю скорость в сечении:

Эта зависимость называется законом Гагена — Пуазейля: средняя скорость параллелоструйного течения жидкости в трубе прямо пропорциональна падению напора на единицу длины трубы, квадрату радиуса трубы и обратно пропорциональна коэффициенту вязкости жидкости.

Движение жидкости параллельными слоями называется ламинарным течением.

Величина равна потере давления на единицу длины трубы, Так как труба горизонтальна () и сечение ее постоянно, то. Следовательно,.

.

где —величина диссипации механической энергии единицы объёма жидкости в единицу времени, т. е. сила сопротивления при ламинарном течении прямо пропорциональна первой степени скорости.

Проверка закона Гагена — Пуазейля осуществляется легко. При этом получается неожиданный результат. Уравнение (6) оказывается справедливым лишь при малых скоростях течения жидкости и. малых размерах труб. Точнее говоря, при малых значениях безразмерного числа.

где vcp— средняя скорость, — плотность жидкости, r — радиус трубы, — коэффициент вязкости жидкости. Число Re носит название числа Рейнольдса.

При ламинарном движении жидкость движется слоями, и скорости в каждом сечении параллельны друг другу; скорости частиц жидкости меняются от твердых границ внутрь потока по параболическому закону; сопротивление движению жидкости или твердого тела в ней прямо пропорционально первой степени скорости, причем сопротивление обязано своим происхождением действию сил вязкости.

Если траектории частиц жидкости искривляются, то на них должна действовать некоторая сила, сообщающая им центростремительное ускорение. В потоке вязкой жидкости на каждую частицу действуют сила давления р и сила вязкости FB. Эти силы и обусловливают возникновение ускорения частиц.

По второму закону Ньютона.

Если система отсчета связана с движущейся частицей, то в этой системе на частицу будет действовать сила инерции, равная.

Можно предположить, что степень устойчивости ламинарного течения характеризуется отношением сил инерции к силам вязкости, так как силы инерции, видимо, тем больше, чем больше отклонение траекторий частиц в потоке от прямолинейного направления, а сила вязкости препятствует возникновению этих отклонений.

Силы инерции выражаются через произведение плотности жидкости на объем и на производную скорости по времени.

Производную от скорости по времени можно представить как величину, пропорциональную отношению:

.

где —некоторая скорость, характерная для данной задачи, —некоторая характерная длина. Масса, т. е. произведение плотности на объём, пропорциональна. Тогда сила инерции:

=.

Сила вязкости пропорциональна производной скорости по расстоянию некоторой площади и коэффициенту вязкости:

Найдем отношение Fи к FB. Легко видеть, что оно равно с точностью до постоянного множителя безразмерному числу, которое мы назвали числом Рейнольдса:

где —коэффициент кинематической вязкости.

В число Рейнольдса (8) входят некоторая скоростью, размер /0 и коэффициент кинематической вязкости. Коэффициент вязкости определен, если известна жидкость в потоке, для которого вычисляется значение Re. Скорость 0 есть скорость, характерная для данного случая течения жидкости, например: для течения жидкости в длинной трубе это средняя скорость в сечении трубы, для случая обтекания жидкостью шарика это скорость его движения относительно жидкости и т. д. Характерным размером в случае течения жидкости в трубе служит диаметр трубы, при обтекании малого по сравнению с размерами потока шарика — диаметр шарика и т. д.

Пока число Рейнольдса мало, силы вязкости преобладают над силами инерции и всякое возмущение, случайно возникшее в жидкости, гаситься.

При возрастании скорости токе воды, и размеров потока (или убывании вязкости) силы инерции становятся при прочих равных условиях близкими по величине к силам вязкости. Случайные искривления траекторий частиц жидкости возникают легче и существуют дольше. Этому режиму течения жидкости соответствует некоторая область значений числа Рейнольдса, которая называется критической.

Наконец, если число Рейнольдса больше критического значения, силы инерции значительно превышают силы вязкости и случайно возникшие возмущения развиваются в толще потока. На Рисунке 3 изображено развитие возмущения, возникшего на выступе твердой границы. Со временем весь поток оказывается заполненным возмущениями. Частицы жидкости движутся по искривленным, случайно изменяющимся во времени траекториям. Такое движение называется турбулентным.

Переход от ламинарного к турбулентному режиму течения наблюдается для всех жидкостей при одном и том же значении числа Рейнольдса Reкр. Следовательно, критическая скорость, при которой осуществляется этот переход, меняется в зависимости от размеров потока и вязкости таким образом, что критическое значение числа Рейнольдса для всех жидкостей остается постоянным.

Ламинарному течению соответствуют значения чисел Рейнольдса примерно до Re=00. Переход от ламинарного к турбулентному течению происходит в области значений Re от 1000 до 2000. При значениях больших 2000 течение турбулентное.

Подъемная сила Fn возникает в результате существования циркуляционного движения жидкости вокруг тела.

Строгая математическая теория подъемной силы разработана великим русским механиком Н. Е. Жуковским. Он показал, что течение вблизи крыла можно рассматривать как два одновременно существующих течения идеальной жидкости: непрерывного обтекания с плавно изогнутыми линиями тока и циркуляционного течения вокруг крыла (Рис. 4). Частицы жидкости при этом деформируются, но не вращаются, т. е. движение удовлетворяет условию потенциальности. При потенциальном движении особая физическая величина — циркуляция скорости по любому замкнутому геометрическому контуру, охватывающему тело,— величина постоянная.

Найдем подъемную силу. Пусть поток обтекает крыло, расположенное под углом атаки к направлению скорости v0 в невозмущенном потоке; давление в невозмущенном потоке р0. Положим, скорости циркуляционного течения в точках сверху и снизу крыла, отстоящих на расстоянии х от передней кромки, соответственно и v2 и давление и. Напишем уравнение Бернулли для двух трубок тока, проходящих одна сверху другая снизу крыла. Одно сечение возьмем в невозмущенной части потока, второе — на расстоянии х от передней кромки.

Тогда.

для нижней трубки тока. Отсюда.

Так как при малых углах атаки v1 и v2 мало отличаются от v0, положим Тогда Выделим около точки с координатой х полоску шириной dx вдоль хорды крыла и длиной в направлении размаха крыла /. Результирующая сила давления на выделенную полоску:

Значение результирующей, действующей на всю поверхность крыла:

Но интеграл.

представляет собой циркуляцию скорости по контуру, проведенному вокруг крыла. Таким образом:

Эта формула носит название формулы Жуковского — Кутта, где.

Г=,.

величина циркуляции скорости.

В природе и технике часто происходят процессы, повторяющиеся во времени. Такие процессы называются колебаниями.

Качания маятника часов, волны на воде, переменный электрический ток, свет, звук, и т. д. являются примерами колебаний различных физических величин. Все эти процессы качественно отличаются друг от друга, но оказывается, что количественные закономерности (т. е. математические выражения) этих процессов имеют много общего. Именно это обстоятельство придает учению о колебаниях его важное значение. Изучая на этих двух лекциях механические колебания, мы получим также знания — в других областях, например, из области электромагнитных колебаний, радиотехники, оптики, и др.

1. Гармонические колебания

Изучим простейшую колебательную систему — тело массы m, прикрепленное к пружине и скользящее без трения по горизонтальному столу.

Рассмотрим движение этого грузика под действием однократно приложенной силы. Отклонение обозначим через х, и предположим, что имеем дело с абсолютно упругой пружиной. В этом случае пружина действует на груз с упругой силой F, пропорциональной смещению х и направленной в сторону обратную смещению, т. e. F= — kx, где k — коэффициент пропорциональности, называемый также жесткостью пружины. Знак " минус" означает, что сила упругости противодействует смещению.

В физике встречаются силы иного происхождения, чем упругие, которые обнаруживают такую же закономерность, т. е. оказываются равными —kx, где k — постоянная положительная величина.

Силы такого вида, независимо от их природы, принято называть квазиупругими.

Под действием этой однократно приложенной силы грузик начнет совершать колебания.

Механическая система, совершающая колебания около положения равновесия, называется классическим осциллятором.

Промежуток времени, по истечению которого движение повторится, называется периодом колебания и обозначается Т, [Т] = с.

Частота колебаний равна числу полных колебаний за 1 с:. Частота измеряется в Гц. 1 Гц — это одно колебание за 1 с. В технике частоты измеряются также в килогерцах (1 кГц = 103 Гц), мегагерцах (1 Мгц = 106 Гц), гигагерцах (1ГГц = 109 Гц).

Выведем уравнение колебаний гармонического осциллятора.

Напишем 2-й закон Ньютона: F = та, где F = -kx, а ускорение. В итоге получаем или.

,.

.

Уравнение (1) является обыкновенным линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решением будет:

или, (3).

где А — амплитуда колебаний, т. е. наибольшее отклонение колеблющегося грузика от положения равновесия; оно задается начальными условиями при однократном приложении силы.

Поскольку значения как cos так и sin через 2 радиан повторяются, то можно найти связь между периодом Т0 и, откуда.

— называется собственной круговой частотой. Она равна числу полных колебаний за секунд. Для вращательного движения круговая частота и величина угловой скорости совпадают.

Выражение в скобках (3) называют фазой колебания. Она определяет смещение в данный момент времени t; - начальная фаза. Она характеризует смещение в начальный момент времени t = 0 и определяется начальными условиями, как и амплитуда А.

Пусть, тогда .

График этого уравнения приведен на Рис. 2. Из (2) и (4) следует, что период колебания не зависит от амплитуды колебаний А.

Скорость.

пропорциональна амплитуде и круговой частоте, и отличается по фазе от смещения (3) на. Максимальная скорость .

Ускорение.

пропорционально A и, и по направлению совпадает с направлением силы, а по фазе отличается от скорости (6) на, и от смещения (3) — на . Максимальное ускорение .

Простейшее периодическое колебание, при котором смещение изменяется со временем по закону cos или sin называется гармоническим колебанием.

Как следует из (5) и (6) скорость и ускорение колеблющегося груза изменяется со временем также по гармоническому закону, т. е. по закону sin и cos.

2. Потенциальная и кинетическая энергии

Установим изменение потенциальной и кинетической энергий колеблющейся системы. Известно, что потенциальная энергия упруго деформированного тела равна, где k — коэффициент упругости, х — смещение; откуда для потенциальной энергии колебаний находим.

.

Кинетическая энергия, что, согласно (2) и (5), в нашем случае будет.

.

Анализ (7) и (8) показывает, что когда одна из энергий или увеличивается, то другая уменьшается. Полная же энергия.

E=Wn+Wk=kA2/2

остается величиной постоянной и для пружинного маятника, (см. Рис. 1), она определяется работой, совершенной внешней силой по сжатию или растяжению пружины. Итак, мы рассмотрели свободные или собственные колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе, после того, как она была выведена из положения равновесия.

Но в реальных условиях всегда на механические системы действуют силы трения из-за чего свободные колебания переходят в затухающие, которые будут рассмотрены в параграфе 8.

3. Векторная диаграмма гармонического колебания

Гармоническое колебание можно представить в виде проекции вектора, вращающегося против хода часовой стрелки с угловой скоростью, равной круговой частоте. Из Рис. 3 следует, что проекция вектора на направление ОХ будет.

4. Комплексная форма представления колебаний

Согласно формуле Эйлера для комплексных чисел.

где .

Поэтому уравнение гармонического колебания (3) можно записать в экспоненциальной форме:

.

Вещественная часть представляет собой смещение х при гармоническом колебании .

Обычно обозначение опускают и пишут так.

.

5. Сложение одинаково направленных колебаний

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинаковой частоты, смещения которых и .

Используем векторную диаграмму, Рис. 4; откуда следует, что где.

.

Пусть, тогда.

.

т.е. результирующее колебание не будет гармоническим. Если колебания мало отличаются по частоте, например,, , то результирующее колебание можно рассматривать как почти гармоническое колебание с частотой и медленно меняющейся амплитудой. Такие периодические изменения амплитуды называются биениями.

6. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Пусть и, тогда траекторией будет прямая линия, Рис. 5: .

При и, траекторией будет эллипс:

(x2/A2)+(y2/B2)=1.

При разных частотах складывающихся колебаний результирующие траектории будут иметь более сложный вид.

Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу.

Биение Особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания одинакового направления мало различаются по частоте. Как мы сейчас покажем, результирующее движение при этих условиях можно рассматривать как гармоническое колебание с пульсирующей амплитудой. Такое колебание называется биениями.

Обозначим частоту одного из колебаний буквой частоту второго колебания через По условию Амплитуды обоих колебаний будем полагать одинаковыми и равными а. Чтобы не усложнять без надобности формул, допустим, что начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний будут иметь следующий вид:

Складывая эти выражения и применяя тригонометрическую формулу для суммы косинусов, получаем.

(во втором множителе пренебрегаем членомпо сравнению с и). График функции () изображен на Рис. График построен для Заключенный в квадратные скобки множитель в формуле () изменяется гораздо медленнее, чем второй множитель. Ввиду условия Асо <�С и за то время, за которое множитель cos (cjt) совершает несколько полных колебаний, множитель, стоящий в квадратных скобках, почти не изменяется. Это дает нам основание рассматривать колебание () как гармоническое колебание частоты, амплитуда которого изменяется по некоторому периодическому закону. Выражением этого закона не может быть множитель, стоящий в квадратных скобках, так как он изменяется в пределах от —2а до +2а, в то время как амплитуда по определению — положительная величина.

График амплитуды показан на Рис. Аналитическое выражение амплитуды, очевидно, имеет вид Функция () — периодическая функция с частотой, в два раза превышающей частоту выражения, стоящего под знаком модуля т. е. с частотой Дол. Таким образом, частота пульсаций амплитуды — ее называют частотой биений — равна разности частот складываемых колебаний.

Отметим, что множитель 2а cos (Auj/2t) не только определяет амплитуду, но и влияет на фазу колебания. Это проявляется, например, в том, что отклонения, соответствующие соседним максимумам амплитуды, имеют противоположные знаки (см. точки Mi и М2 на Рис. .

7. Гармонические осцилляторы

Математический маятник.

Это материальная точка, подвешенная на невесомой, нерастяжимой нити.

Хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити, Рис. 7. Тангенциальное ускорение а, возникает под действием тангенциальной силы. Для малых можно положить и .

С другой стороны тангенциальное ускорение связано с угловым соотношением: .

Из второго закона Ньютона следует, что, или .

Деля правую и левую части этого уравнения на l, получим:

.

где. Решением его для малых ц будет:

.

.

Таким образом, период колебаний математического маятника T0, не зависит от его массы и амплитуды колебаний. Измерения T0 дают возможность с большой точностью определять g, что позволяет проводить гравитометрическую разведку и определять форму фигуры планеты.

Математический маятник сыграл большую роль в открытии закона сохранения энергии и в создании общей теории относительности, основным положением которой является равенство массы гравитационной и инертной.

Пружинный маятник

Это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий колебания около положения равновесия, Рис. 1. Он был рассмотрен в параграфе 1. Для него и.

Физический маятник.

Это твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс С тела. На маятник, отклоненный на малый угол ц действует момент силы, который сообщает угловое ускорение, где J — момент инерции тела, относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно Рисунку.

С учетом этого получается дифференциальное уравнение. Разделив правую и левую части последнего уравнения на момент инерции тела J, найдем: ,

.

Решением его будет .

Период колебания ,.

где L = J/ml — приведенная длина физического маятника; L — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебания данного физического маятника.

Точка О', расположенная на расстоянии L от точки О (Рис. 8), через которую проходит ось подвеса физического маятника, называется его центром качаний. Периоды колебаний относительно точек О и О' совпадают.

8. Свободные затухающие колебания

Кроме силы упругости F = — kx на тело действуют также сила сопротивления, которая при медленных движениях пропорциональна скорости, т. е., где r — коэффициент сопротивления, с размерностью [r] = кг/с.

С учетом сказанного, уравнение движения тела (2-й закон Ньютона ) ma=F будет иметь вид , или, разделив на массу т правую и левую части такого уравнения, имеем :

.

где - коэффициент затухания;. Его решение будет.

.

Анализируя (17), можно видеть, что:

1) при ,

т.е. движение получается непериодическим, Рис. 9; его называют апериодическим, т.к. тело монотонно стремится к положению равновесия.

2) при.

где - амплитуда, а.

.

Из (19) следует, что затухающие колебания не являются строго гармоническими, их амплитуда A (t), уменьшается с течением времени и тем быстрее, чем больше коэффициент затухания (Рис. 10).

Логарифмический декремент затухания

Натуральный логарифм отношения отклонения системы в моменты времени t и называется логарифмическим декрементом затухания:

Величина, обратная , показывает число колебаний, совершаемых за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,7182 раз.

Величина.

называется добротностью колебательной системы.

Заметим, что рассмотренная колебательная система является диссипативной, т.к. ее механическая энергия постепенно уменьшается с течением времени за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии.

9. Вынужденные колебания

Они возникают при действии на систему внешней периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы)

,

где — круговая частота вынуждающей силы.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний с учетом затухания запишется в виде:

m (d2x/dt2) = -kx — r (dx/dt) + Fmcost.

Перепишем это уравнение в виде:

.

Таким образом, получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решением такого уравнения будет, где — общее решение однородного уравнения (23), (т. е. уравнения (23) с правой частью, равной нулю). Согласно (17).

и с течением времени. Поэтому .

Из решения (23) следует, что.

.

. (26).

Из анализа (25) следует, что хотя амплитуда вынуждающей силы Fm, остается постоянной, амплитуда А вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы.

амплитуда вынужденных колебаний достигает максимальной величины:

.

Это явление называется резонансом.

На Рис. 11 приведена зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы, которая определяется формулой (25); (откуда: при = 0 находим , а при имеем, что объясняется инерционностью колебательной системы).

Явление резонанса, состоящее в резком увеличении амплитуды колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к резонансной частоте, широко используется в технике. Его следует учитывать при конструировании машин, кораблей, самолетов и т. д. Необходимо, чтобы их резонансные частоты не совпадали с частотой вынуждающих внешних воздействий.

8. Автоколебания

При затухающих колебаниях энергия системы расходуется на преодоление сопротивления среды. Если восполнять эту убыль энергии, колебания станут незатухающими. Пополнение энергии системы может осуществляться за счет толчков извне, однако эти толчки должны сообщаться системе в такт с ее колебаниями, в противном случае они могут ослабить колебания и даже прекратить их совсем. Можно сделать так, чтобы колеблющаяся система сама управляла внешним воздействием, обеспечивая согласованность сообщаемых ей толчков со своим движением. Такая система называется автоколебательной, а совершаемые ею незатухающие колебания— автоколебаниями.

В качестве примера автоколебательной системы рассмотрим часовой механизм. Маятник часов насажен на одну ось с изогнутым рычагом — анкером (Рис.). На концах анкера имеются выступы специальной формы, называемые палеттами. Зубчатое ходовое колесо находится под воздействием цепочки с гирей или закрученной пружины, которые стремятся повернуть его по часовой стрелке. Однако большую часть времени колесо упирается одним из зубьев в боковую поверхность той либо иной палетты, скользящей при качании маятника по поверхности зуба. Только в моменты, когда маятник находится вблизи среднего положения, палетты перестают преграждать путь зубьям и ходовое колесо проворачивается, толкая анкер зубом, скользящим своей вершиной по скошенному торцу палетты. За полный цикл качаний маятника (за период) ходовое колесо проворачивается на два зуба, причем каждая из палетт получает по толчку.

Посредством этих толчков за счет энергии поднятой гири или закрученной пружины и восполняется убыль энергии маятника, возникающая вследствие трения.