Теорема гаусса. 
Физика: механика, электричество и магнетизм

Теорема Гаусса — основная теорема электростатики. Она устанавливает связь между потоком вектора напряжённости через замкнутую поверхность и суммарным зарядом, охваченным этой поверхностью.

Рассмотрим эту теорему.

Пусть электрическое поле создано положительным точечным зарядом q.

Найдём поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность, охватывающую этот заряд.

В качестве поверхности выберем сферу радиусом /*, центр которой совпадает с зарядом q.

Будем считать, что векторы п во всех точках замкнутой поверхности направлены от центра сферы.

Поскольку заряд, создающий поле, положителен и расположен в центре сферы, то угол между вектором Е и вектором п во всех точках поверхности равен нулю.

Поэтому поток вектора напряжённости через элементарную поверхность ds будет равен En^ = ?coscufr = ?cosO</.v = Eds.

Другими словами, в рассматриваемой ситуации скалярное произведение вектора напряжённости электростатического поля на век гор элементарной поверхности равен произведению модулей этих векторов.

Напряжённость поля, созданного точечным за- 1 Я

рядом, равна—.

4ле₀ г²

Поскольку заряд расположен в центре сферической поверхности, расстояние от заряда до поверхности во всех её точках одинаково и равно /*. Следовательно, модуль вектора напряжённости во всех точках сферической поверхности одинаков: Е = const.

Константу можно вынести за знак интеграла, поэтому поток вектора напряжённости через замкнутую поверхность в данном случае равен Eds = Е J ds .

S S

Интеграл от элементарных площадей поверхности s, взятый по всей поверхности, равен площади этой поверхности s. В данном случае поверхность является сферой и, значит, площадь s = 4пг .

S

Подставив выражение для расчёта напряжённости, получаем.

Следовательно, поток вектора через замкнутую сферическую поверхность, в центре которой расположен точечный заряд q, равен отношению величины заряда к электрической постоянной.

Можно показать, что поток вектора напряжённости поля точечного заряда через замкнутую поверхность будет равен — и в том случае,.

^ео когда заряд находится нс в центре сферической поверхности.

Более того, поток будет таким же, даже если поверхность будет иметь любую другую форму.

Если поверхность охватывает несколько зарядов q_if поток каждого из зарядов через замкнутую поверхность будет равен Фе,-</$ = — .

^ ^со Суммарный поток, созданный всеми зарядами, будет равен.

Меняя последовательность суммирования и интегрирования и учитывая, что в соответствии с принципом суперпозиции Е =? Е,, полу;

чаем Ф X E/^s = f, где Е — вектор напряжённости поля,.

S ‘ S ¹

созданного всеми зарядами, охваченными замкнутой поверхностью.

Итак, проведённый анализ позволил получить следующее соотношение:

Эго соотношение имеет универсальный характер и называется теоремой Гаусса: поток вектора напряжённости электрического поля через замкнутую поверхность равен отношению алгебраической суммы зарядов, охваченных этой поверхностью, к электрической постоянной.

Обратите внимание, в выражении теоремы Гаусса отсутствуют характеристики положения зарядов </, .

Это означает, что поток вектора напряжённости не зависит от того, как расположены заряды, охваченные замкнутой поверхностью.

Более того, поток вектора напряжённости не изменится, если изменится взаимное расположение зарядов, охваченных поверхностью.

Практическое значение теоремы Гаусса состоит в том, что с её помощью значительно упрощается расчёт полей, созданных симметричными распределениями зарядов.

Суть теоретического значения теоремы Гаусса заключается в том, что она указывает на источник электростатического поля.