Магнитное поле бесконечного соленоида

Соленоидом называется проводник, намотанный на цилиндрическую поверхность.

Если витки соленоида намотаны вплотную друг к другу, то соленоид удобно представлять в виде совокупности витков одинакового радиуса, расположенных параллельно друг другу вдоль оси соленоида. Центры витков расположены на оси, плоскости витков перпендикулярны оси. Токи во всех витках одинаковы.

Как показано в разд. 4.1.4.4, вектор магнитной индукции на оси витка параллелен ей. Следовательно, и суммарное поле всех.

витков на оси соленоида параллельно этой оси.

Поскольку соленоид симметричен относительно оси, проходящей через центры витков, то и созданное им магнитное поле должно быть симметричным относительно этой оси.

Следовательно, магнитное поле параллельно оси соленоида и в остальных точках, расположенных внутри соленоида.

Магнитное поле вне бесконечного соленоида равно нулю. Это можно доказать следующим образом.

Вначале допустим, что магнитное поле вне соленоида всё же существует.

Тогда оно должно быть симметричным относительно оси соленоида. Это значит, что силовые линии магнитного поля вне соленоида должны быть параллельны его оси.

Для расчёта индукции магнитного поля вне соленоида воспользуемся законом полного тока.

Найдём циркуляцию вектора магнитной индукции по прямоугольному контуру, у которого сторона ab проходит вдоль витков соленоида вблизи от них, а сторона cd находится бесконечно далеко от витков.

Скалярное произведение Вс/1 во всех точках сторон be и da равно нулю, так как угол между В и d на этих сторонах прямой.

Магнитное поле бесконечно далеко от соленоида равно нулю, поэтому вклад участка о/в циркуляцию также равен нулю.

Прежде чем определять вклад участка ah, найдём алгебраическую сумму токов, охваченных контуром abed.

Поскольку контур не охватывает ни один виток соленоида, сумма токов равна нулю.

Следовательно, и циркуляция вектора В по контуру abed должна быть равна нулю.

Но это означает, что и на участке ab скалярное произведение равно нулю. Это возможно лишь в том случае, если индукция магнитного поля и вблизи от поверхности соленоида равна нулю.

Таким образом, магнитное поле вне бесконечно длинного соленоида действительно равно нулю.

Теперь найдём индукцию магнитного поля внутри соленоида.

В качестве контура интегрирования выберем прямоугольник 1234, две стороны которого параллельны оси соленоида, охватывающий несколько ви тков соленоида.

Циркуляция В по этому контуру равна

На участках 2−3 и 4−1 индукция поля в соленоиде в_с перпендикулярна элементу контура dl, поэтому скалярное произведение В₍ и di равно нулю.

Интеграл на участке 3−4 также равен нулю, так как поле вне бесконечного соленоида равно нулю.

2 2.

Следовательно, J Вd = J B_cd = J B_cdl = B_c/_[2, где l₂ — длина сторо- 1 1.

ны 1−2 контура интегрирования.

При вычислении интеграла были учтены следующие соображения: — внутри соленоида направление магнитной индукции и направление обхода контура совпадают, поэтому скалярное произведение В di равно произведению модулей этих векторов;

• — модуль вектора магнитной индукции во всех точках участка контура 1 -2 одинаков, поэтому В можно вынести за знак интеграла;
• 2
• — интеграл J dl = /, ₂, поэтому циркуляция равняется произведению

модуля магнитной индукции на длину участка 1−2.

Ток, охваченный этим контуром, равен nl_]2I₄ где п — количество витков на единице длины соленоида; / -ток в одном витке.

Согласно закону полного тока циркуляция вектора магнитной индукции равна произведению ц₀ на алгебраическую сумму токов, охваченных контуром:

сокращая длину участка 1−2, получаем выражение для расчёта индукции магнитного поля внутри бесконечного соленоида: В = i₀nl.

Обратите внимание на то, что величина В внутри соленоида во всех точках одинакова. Эго значит, что магнитное поле внутри бесконечного соленоида однородно.