Расчет инвариантов тензора напряжений

Вычислить инварианты тензора напряжений:

Первый, или линейный инвариант, равен следу матрицы тензора напряжений, т. е. сумме компонент, расположенных на главной диагонали:

(3).

Второй или квадратичный инвариант равен сумме миноров определителя матрицы тензора напряжений det (уij)= при разложении его по главной диагонали:

(4).

Третий, или кубический, инвариант равен определителю матрицы тензора напряжений det (уij)=, или подробно:

(5).

Определение направляющих косинусов новых осей в старой системе координат

Задать три угла Эйлера и вычислить направляющие косинусы новых осей в старой системе координат.

Старые оси обозначены x, y, z. Новые оси обозначим x', y', z'. Положение новых осей, относительно старых, однозначно определяется тремя углами Эйлера и, ш, ц (рис. 2).

Угол нутации и — угол между положительными направлениями осей Oz' и Oz (р>и?0).

Угол прецессии ш — угол, между осью Ох и линией пересечения ОА плоскостей хОу и х’Oy'. На линии ОА положительное направление выбрано так, что ОА, Oz и Oz' образуют правую тройку векторов. Угол ш отсчитывается в направлении от оси Ох к оси Оу (2р>ш?0).

Угол чистого вращения ц — угол между Ох' и Оа. Угол ц отсчитывается в направлении от Ox' к Oy' (2р>ц?0).

Обозначим:

(6).

Обозначим далее направляющие косинусы новых осей в старой системе координат так:

(7).

Тогда эти направляющие косинусы равны:

Рис. 2. Взаимное расположение старых x, y, z, и новых x', y', z' осей координат. Углы Эйлера