Задачи на построение, основные операции и методы, используемые для их решения

Геометрические задачи на построение играют важную роль в обучении математике, и эта роль сводится к следующему:

• • они являются надежным средством систематического повторения геометрического материала;
• • эти задачи позволяют учащемуся обстоятельно и глубоко разобраться в известном им геометрическом материале;
• • они способствуют развитию пространственных представлений у учащихся;
• • они приучают учащихся логически рассуждать;
• • эти задачи успешно формируют у учащихся алгоритмическую культуру;
• • посредством этих задач реализуются межпредметные связи геометрии со смежными дисциплинами, и особенно с черчением;
• • эти задачи дисциплинируют внимание у учащихся, приучают их проявлять настойчивость, инициативу и изобретательность в достижении намеченной цели.

Выделим элементарные операции, которые используются в задачах на построение (табл. 3.1).

Таблица 3.7.

Элементарные операции.

Окончание табл. 3.1

Основные построения, которые используются для решения исследуемого класса задач, сводятся к следующим:

• 1) от данной точки прямой отложить отрезок заданной длины;
• 2) отложить от данного луча в данную полуплоскость угол, равный данному углу;
• 3) разделить данный отрезок пополам;
• 4) разделить данный отрезок на несколько равных частей;
• 5) разделить данный угол пополам;
• 6) из данной точки прямой восстановить перпендикуляр к этой прямой;
• 7) из точки вне прямой опустить на эту прямую перпендикуляр;
• 8) провести перпендикуляр к данному отрезку через его середину;
• 9) построить треугольник по трем сторонам;
• 10) построить треугольник по двум сторонам и углу между ними;
• 11) построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам;
• 12) построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету;
• 13) построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу;
• 14) построить прямую, проходящую через данную точку параллельно данной прямой;
• 15) построить касательную к окружности в данной на ней точке;
• 16) построить касательные к окружности, проходящие через точку вне окружности;
• 17) построить касательные к окружности, параллельные данной прямой;
• 18) описать окружность около данного треугольника;
• 19) вписать в данный треугольник окружность;
• 20) построить отрезок, четвертый пропорциональный к трем данным;
• 21) построить отрезок, средний пропорциональный к трем данным;
• 22) построить точки, делящие данный отрезок в данном отношении внутренним и внешним образом;
• 23) построить общие касательные к двум данным окружностям.

Основными методами решения геометрических задач на построение являются три метода:

• 1) метод геометрических мест точек (ГМТ);
• 2) метод геометрических преобразований;
• 3) алгебраический метод.

Более детальная классификация методов решения задач на построение приведена в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Классификация методов решения задач на построение.

Сделаем к табл. 3.2 некоторые замечания.

1. При решении задач методом геометрических мест точек сводят данную задачу к задаче на нахождение точки или нескольких точек, каждая из которых обладает свойством тех ГМТ, пересечением которых она является. Затем, чтобы построить искомую точку, сначала строят одно геометрическое место, удовлетворяющее первому условию, а потом строят другое геометрическое место, удовлетворяющее другому условию, опуская первое.

Точки пересечения построенных ГМТ и только они и будут являться искомыми точками, отсюда ясно, что метод ГМТ применяется в тех случаях, когда задачу можно расчленить на две независимые, каждая из которых в отдельности определяет ГМТ, построение которых известно. Приведем задачу, решение которой строится на методе ГМТ: «Дана окружность О (г) и прямая I. Построить точку, расположенную вне окружности и находящуюся на расстоянии h от нее и от данной прямой».

• 2. Метод спрямления применяется к тем задачам, в условиях которых содержатся сумма и разность отрезков. Метод состоит в том, что сначала строят вспомогательную фигуру, в которую непосредственно входит данная сумма или разность отрезков, а затем строят искомую фигуру. Примером таких задач может служить следующая: «Построить треугольник по стороне ВС = а, углу В и сумме двух других сторон Ь + с =р».
• 3. Метод симметрии заключается в том, что, проведя анализ задачи, замечают: вместо искомой фигуры можно построить фигуру, симметричную ей относительно некоторой прямой или точки, а затем от нее перейти к построению искомой фигуры, производя повторную симметрию. Приведем пример задачи, решаемой методом симметрии: «По одну сторону от данной прямой а даны две точки: А и В, по другую — окружность О (г). Построить на прямой АВ и окружности О (г) пары точек, симметричных относительно прямой /».
• 4. Метод параллельного переноса заключается в том, что переносят на некоторый вектор какой-нибудь отрезок или часть искомой фигуры и сводят построение фигуры к построению вспомогательной, более простой фигуры, а затем выполняют обратный перенос и получают искомую фигуру. В качестве примера задачи, решаемой методом параллельного переноса, может служить такая: «Построить трапецию по четырем сторонам: a, b, с, d (а || с, а > с)».
• 5. Метод вращения (поворота) при решении задач на построение заключается в том, что, повернув какую-нибудь данную или искомую фигуру вокруг целесообразно выбранного центра на некоторый угол, сводят построение искомой фигуры к построению вспомогательной, более простой фигуры, а затем совершают обратное вращение и получают искомую фигуру. Характерная особенность задач, решаемых методом вращения, состоит в существовании пары соответственных точек, переводимых одна в другую вращением вокруг выбранного или заданного центра на известный угол или угол, легко определяемый из условия задачи. Примером такой задачи может быть следующая: «Построить треугольник по двум сторонам а и d и медиане т_с, проведенной к третьей стороне».
• 6. Метод подобия (гомотетии) при решении задач заключается в следующем. Проводя анализ задачи, отбрасывают одно из условий, характеризующих размеры искомой фигуры (линейный размер или ее определенное положение); выясняют сначала возможность построения не искомой фигуры Ф, а фигуры Ф', гомотетичной искомой. Затем строят вспомогательную фигуру Ф' и подвергают ее преобразованию гомотетии так, чтобы после преобразования уже выполнялось и ранее отброшенное условие, при этом получают искомую фигуру Ф.

Из сказанного следует, что к числу задач, решаемых методом гомотетии, относятся прежде всего такие задачи, в которых среди данных лишь одно выражается отрезком, а все остальные данные — либо углы, либо отношения углов или отрезков. Приведем пример такой задачи: «Построить ромб по отношению диагоналей т: п и высоте h».

• 7. В задачах на построение среди данных элементов могут быть некоторые точки, а также отрезки, углы и их отношения. Данный угол можно заменить заданием трех отрезков — сторон треугольника, имеющего угол, равный данному. Данное отношение углов может быть заменено отношением двух отрезков. Таким образом, все данные элементы можно свести к данным отрезкам а, Ь, I. Искомые элементы аналогичным образом можно выразить через неизвестные отрезки х, у,…, w. Нахождение же неизвестных отрезков через известные сводится к уравнениям, решение которых дается алгебраическими формулами, т. е. решение задачи на построение сводится к построению отрезков, выраженных формулами. Такой метод решения задач на построение называется алгебраическим. Приведем пример задачи, решаемый алгебраическим методом: «Построить равнобедренный треугольник по двум его неравным высотам».
• 8. Метод обратности заключается в том, что в некоторых случаях сначала так изменяют условие предложенной геометрической задачи на построение, чтобы искомые стали данными, а данные искомым, а затем, решив эту обратную задачу, определяют те зависимости, посредством которых можно решить предложенную задачу. Этим методом может быть решена такая задача: «В данный ДАВС вписать такой треугольник, стороны которого были бы параллельны сторонам другого данного AKLM».