Метод осевой симметрии

Этот метод заключается в том, что, проведя анализ задач, замечают, что вместо искомой фигуры можно построить фигуру, симметричную ей относительно некоторой прямой, а затем от нее перейти к построению искомой фигуры, проведя повторную симметрию.

При решении задач на построение методом осевой симметрии надо владеть следующими умениями:

• 1) строить образы фигур при осевой симметрии;
• 2) видеть симметричные относительно прямой точки на симметричных относительно этой же прямой фигурах;
• 3) строить ось симметрии;
• 4) находить симметричные относительно прямой точки на произвольных заданных фигурах.

Перейдем к решению задач.

Задача 6.6. Построить треугольник наименьшего периметра, вписанный в данный острый угол так, чтобы две его вершины принадлежали сторонам угла, а третья — данной точке внутренней области угла.

Решение

Приведем лишь краткие рекомендации по решению предложенной задачи. Решение задачи основано на свойствах осевой симметрии.

Строим точки М_у и М₂, симметричные данной точке М относительно прямых, содержащих стороны этого угла. Точки пересечения отрезка М_УМ₂ со сторонами угла являются вершинами искомого треугольника. Периметр полученного треугольника равен длине отрезка М_УМ₂, периметр любого данного треугольника, одной из вершин которого является точка М, а две другие принадлежат сторонам данного угла, равен длине ломаной, соединяющей точки М_] и М₂.

Задача 6.7. Даны две окружности и прямая I (рис. 6.6). Построить равносторонний треугольник так, чтобы две его вершины принадлежали данным окружностям, а одна из высот — прямой I.

Рис. 6.6.

Решение

Предположим, что ААВС искомый (см. рис. 6.6).

Так как высота AD равностороннего ДАВС принадлежит прямой I, то точки В и С симметричны относительно этой прямой и лежат на данных окружностях.

Если точка С принадлежит окружности Р₂ и симметрична точке В, принадлежащей окружности F, относительно прямой I, то точка С принадлежит также и образу окружности F, при симметрии относительно прямой I. Следовательно, точка С есть общая точка окружности F₂ и образа окружности F_y при симметрии S₍. Построить окружность F{, являющуюся образом окружности F_y.

Затем строим точку В как образ точки С при симметрии S, учитывая, что С принадлежит окружности F{ и F_y симметрична F{.

Итак, последовательность построений такова:

• 1) строим образ окружности F_x при симметрии S,;
• 2) находим точки пересечения окружностей F{ и ^р2>
• 3) отыскиваем на окружности F_x прообразы точек пересечения окружностей F{ и F₂;
• 4) строим равносторонний ААВС (А е I).

Заметим, что задача может иметь единственное решение, когда окружность F₂ пересекает окружность F{ в точке С; она может иметь два решения, когда окружности F₂ и F{ пересекаются в точках М и К; бесконечно много решений задача имеет тогда, когда окружности F₂ и F{ совпадают; задача не имеет решений, когда окружности F₂ и F{ не пересекаются.

Задача 6.8. Окружность F_x пересекает концентрические окружности F₂ и F₃ соответственно в точках Л, В и С, D. Доказать, что хорды АВ и CD параллельны.

Решение

Пусть О — центр окружности F_x и О_х — центр окружностей F₂ и F₃. И пусть окружности F_x и F₂ пересекаются в точках, А и В, а окружности F, и F₃ — в точках С и D. Тогда ОО_х — ось симметрии фигуры F, которая есть объединение окружностей F_x, F₂ и F₃.

Так как точка А есть точка пересечения окружностей F_x и F₂, ^аоо, (f) х F₂) = F_x хF₂, to S_0O| (A) e F_x xF₂, т. е. S_00] (A) = B.

Аналогично S_GOl © = D. Так как AB J. 00_x и CD 1 00_х, то АВ || CD.

Задача 6.9. На бесконечной прямой АВ найти такую точку С, чтобы полупрямые CM, CN, проведенные из С через данные точки М и N, расположенные по одну сторону АВ, составляли с полупрямыми СА и СВ равные углы.

Решение

Анализ. Допустим, что задача решена (рис. 6.7) и.

Рис. 6.7.

Если повернем этот чертеж на 180° около оси АВ, то отрезок СМ примет положение СМ₂ причем окажется, что.

Из равенств (*) и (**) вытекает, что ZACM₂ = ZBCN, т. е. M₂CN — прямая линия. Если удастся построить эту прямую M₂N, то тем самым определим положение искомой точки С, потому что прямая M₂N пересекает прямую АВ именно в этой точке.

Стремясь построить прямую M₂N, нужно принять во внимание, что одна из ее точек (ЛГ) нам дана, а другая (М₂) симметрична точке М относительно оси АВ.

Построение. 1. Из точки М опустим перпендикуляр ММ, на прямую АВ.

• 2. На продолжении отрезка ММ_Х от точки М, отложим отрезок MjM₂, равный ММ], и получим точку М₂, симметричную точке М относительно оси АВ.
• 3. Соединим точки М₂ и N.

Отрезок M₂N пересечет прямую АВ в искомой точке С.

Доказательство предлагаем провести читателю самостоятельно.

Исследование. Задача всегда имеет решение. Отметим два частных случая.

• 1. Если точки М и N не совпадают и находятся на одинаковом расстоянии от прямой АВ, то искомую точку С можно найти иным путем: из середины отрезка MN опустить перпендикуляр на прямую АВ. Основание этого перпендикуляра будет искомой точкой.
• 2. Если точки М и N лежат на некоторой прямой DE, перпендикулярной к АВ, то точка С есть пересечение линий DE и АВ.

Задача 6.10. Построить по четырем сторонам (a, b, с, d) четырехугольник ABCD, зная, что его диагональ АС делит угол, А пополам.

Решение

Анализ. Допустим, что ABCD есть искомый четырехугольник (рис. 6.8).

Рис. 6.8.

Так как диагональ АС делит угол, А пополам, то, отложив на прямой АВ от точки, А отрезок AD_b равный AD, мы получим точку D_1; симметричную точке D.

Соединив точки С и D_lt получим отрезок CD_X, равный CD, и ABCD₁.

В Л BCD, нам известны все три стороны: 1) ВС = Ъ, 2) CD₁ = CD = с, 3) BD₁=AD₁-AB=ADAB = d-a.

Построив ABCD_X по трем сторонам (Ь, с и d — а), можно найти положение точки А: для этого надо на отрезке D_XB от точки D_x отложить отрезок D_XA, равный d. Соединив точки А и С, получим ААВС. Если на стороне АС построить, как показано на рис. 6.8, AACD, равный треугольнику ACD_b то и получим искомый четырехугольник ABCD.

Построение. 1. Строим ABCD _х по трем сторонам: Ъ, end — а.

• 2. На продолжении стороны BD_X, равной d — а, откладываем от точки Dj отрезок DjA, равный d.
• 3. Из точки, А описываем дугу радиусом, равным d, а из точки С описываем дугу радиусом, равным с, и точку (D) пересечения этих дуг соединяем с точками, А и С. ABCD — искомый четырехугольник.

Доказательство предлагаем провести читателю самостоятельно.

Исследование. Как видим, для получения искомого четырехугольника надо сначала построить вспомогательный д.BCD_V стороны которого равны отрезкам Ь, с и d — а. Если сумма любых двух из этих отрезков больше третьего, то искомый четырехугольник можно построить.

От нашего усмотрения зависит, какой из четырех отрезков, данных в условии задачи, принимать за отрезок d, какой — за отрезок а и т. д. Поэтому для выяснения вопроса о числе решений всегда надо рассмотреть все возможные случаи распределения четырех данных отрезков.