Распределение Максвелла и Больцмана

Среди скоростей молекул можно встретить почти любые значения. «Почти» — потому что число носителей скоростей хотя и огромно, но все же ограничено. Для анализа удобнее «вырезать» из ансамбля те Ап_Г молекул, которые имеют скорости в определенном интервале — от v до v + Av. При этом ^{п =} конечна, a p_v = Anjn есть вероятность обнаружить молекулу со ско;

v

ростью, находящейся в названном интервале. Чтобы выявить зависимость p_v от разных v, нужно исключить ее зависимость от ширины Av интервала, т. е. для всех v рассматривать один и тот же единичный интервал скоростей:

Функция f (v) называется плотностью вероятности. Точно так же, например, обычную плотность р определяют массой в единичном объеме: р = Am/AV_y несмотря на то что масса Ат есть сумма масс отдельных частиц. При переходе Av —³? dv функция f (v) принимает вид, показанный на рис. 4.3:

Рис. 4.3.

Как следует из формулы (4.10), площадь заштрихованного на рис. 4.3 участка равна.

Она равна доле молекул, скорости которых лежат в интервале от v до v + dv. Соответственно, площадь под всей кривой определяет долю молекул со скоростями от 0 до °°, поэтому она равна единице.

Зависимость плотности вероятности любой случайной величины от ее значения называется ее функцией распределения. Кривая, представленная на рис. 4.3, является функцией распределения скорости молекул. Для молекул идеального газа ее теоретически получил Дж. Максвелл, который впервые ввел статистику в описание физических явлений. Она имеет вид.

Именно это распределение Максвелла и показано на рис. 4.3. Его максимум приходится на скорость v = v_m.

ВОПРОС. Каков физический смысл скорости в_11В?

ОТВЕТ. Поскольку доля молекул, имеющих такую скорость, максимальна, это наивероятнейшая скорость.

Ее значение можно найти как и всякий экстремум, взяв производную по v функции (4.12) и приравняв ее нулю. В результате получим.

Например, для молекул водорода при 0 °C н_|Ш — 1500 м/с. Для многих расчетов важна также средняя скорость п_ср (или п):

где предполагается, что скорость v_i имеют Ап₁ молекул. Учитывая смысл функции распределения, получим где использовано соотношение (4.12). Поскольку распределение Максвелла несимметрично (правая ветвь более полога), г>_ср > v_HB. Таким же образом можно найти среднее значение любой другой характеристики ансамбля молекул, подставляя ее в подынтегральное выражение (4.15) вместо v_f например значение v². Корень из такого интеграла называют средней квадратичной скоростью v_KB. Она определяет среднее значение энергии молекул:

Главную роль в установлении всех этих скоростей играют столкновения молекул. Среднюю частоту столкновений можно определить исходя из средней скорости молекул и их диаметра d:

Это определяет и средний путь между двумя последовательными столкновениями, который называется средней длиной свободного пробега:

Как следует из формулы (4.2), при Т = const п~р, и потому Х_с? ~ 1 /р. Например, в воздухе при нормальных условиях (р₀ = 760 мм рт. ст. = 101,325 кПа, Т₀ = 273 К) Х_с? ~ 10~⁷ м.

Максвелловское распределение устанавливается при тепловом равновесии в системах невзаимодействующих или упруго взаимодействующих частиц, движение которых подчинено законам классической механики: газы, некоторые жидкости, броуновские частицы и т. д. Несмотря на то что молекулы при столкновениях постоянно меняют свою скорость, максвелловское распределение стационарно (не изменяется во времени), поскольку в нем поддерживается динамическое равновесие. Если в результате столкновений какая-то часть молекул перешла из элементарного интервала скоростей а в интервал Ъ (см. рис. 4.3), то за это же время ровно такая же часть переходит в обратном направлении.

Как это принято в физике, после рассмотрения идеализированной модели в нее вносят поправки. Молекулы атмосферы, например, находятся в поле тяготения Земли. Влияет ли это на ее характеристики? Да, еще Б. Паскаль в XVII в. установил, что с ростом высоты атмосферное давление падает.

Мысленно вычленим цилиндр с вертикальной осью h. При площади его горизонтального сечения 1 м² силы, действующие на нижнее 1 и верхнее 2 основания, равны давлениям р_] и р₂. В равновесном состоянии р_х = р₂ + nmgdh, где второй член правой части — сила тяжести газа, заключенного в цилиндре; п — концентрация молекул; т — масса одной молекулы. Отсюда dp = ⁼ р₂~ Р ⁼ -nmgdh = kTdn, где последнее следует из формулы (4.2) с учетом равенства Т = const. Таким образом, dn/n = -mgdh/(kT). При конечном перепаде высоты от 0 до h

где п₀ — концентрация молекул на высоте h = 0. Отсюда.

Как видим, концентрация п молекул по мере повышения их потенциальной энергии экспоненциально уменьшается. При этом на всех высотах сохраняется максвелловское распределение молекул по энергиям.

Последнее выражение в формуле (4.20) имеет более общий вид. Оно относится уже не только к силе тяжести и распространяет полученный результат на разные виды частиц в разных потенциальных нолях, например на заряженные частицы в электростатическом поле.

Формула (4.20) называется распределением Больцмана. Им пользуются при анализе аэродинамики летательных аппаратов; термического воздействия на их обшивки; расхода топлива при запуске ракет; работы двигателей внутреннего сгорания в горных условиях и т. д. Для частного случая Е_п = mgh с учетом формулы (4.2) формуле (4.20) можно придать вид.

В этом варианте ее называют барометрической формулой, поскольку она характеризует зависимость давления атмосферы от высоты. Приборы, основанные на соотношении (4.21), называют альтиметрами и применяют, например, в авиации (в действительности формула сложнее, так как с ростом высоты в диапазоне 0—10 км температура воздуха линейно убывает примерно до -50°С).

Заканчивая рассмотрение МКТ, заметим, что реальные газы и пары при давлениях в сотни атмосфер или температурах, близких к температуре конденсации, не соответствуют ее исходным положениям. Объем, занимаемый молекулами, становится соизмерим с объемом межмолекулярного пространства. Его объем становится равным V — Nb, где b — объем одной молекулы. Кроме того, сказывается и взаимное притяжение молекул.

Рис. 4.4.

Если молекулу, ударяющую о стенку, притягивают другие молекулы газа, то сила притяжения направлена от стенки и потому уменьшает давление р. Модуль результирующей силы F (рис. 4.4) пропорционален числу молекул в полусфере радиуса R, в пределах которой сказывается их взаимное притяжение, и, следовательно, их концентрации: F ~ п. Поэтому поправка к формуле (4.2), связанная с одной молекулой: Др_; ~ п, а связанная с давлением со стороны всех молекул: Др = nAp_i ~ п² = ап², где а — коэффициент пропорциональности. С учетом названных факторов уравнение состояния принимает вид.

Эта формула называется уравнением Ван-дер-Ваальса — по имени нидерландского ученого Й. Д. Ван дер Ваальса (1837—1923, Нобелевская премия 1910 г.) получившего его эмпирическим путем.