Роль и место учебных исследований в развитии творческой самостоятельности учащихся при изучении математики

Как показали исследования психологов и педагогов, развитие мышления и индивидуальных качеств личности невозможно без самостоятельной творческой мыслительной деятельности. А. Н. Колмогоров отмечал, что «даже простейшие математические сведения могут применяться умело и с пользой только в том случае, если они усвоены творчески, так, что учащийся видит сам, как можно было бы прийти к ним самостоятельно»¹.

При реализации развивающей функции домашнего задания по математике, для решения задачи творческого развития личности, формирования творческой самостоятельности школьника целесообразно использовать исследовательские и творческие домашние задания. В связи с этим уместно вспомнить слова Л. Н. Толстого: «Если ученик в школе не научится сам ничего творить, то и в жизни он всегда будет только подражать, копировать, так как мало таких, которые бы, научившись копировать, умели сделать самостоятельное приложение этих сведений»^[1][2].

К творческим заданиям по математике можно отнести:

• • составление кроссвордов, ребусов, математических задач;
• • написание математических сочинений и подготовку сообщений;
• • моделирование (оригами, конструирование, создание наглядных пособий, составление схем и таблиц) и др.

Развивающая функция творческих заданий, и в частности учебных исследований в домашних заданиях по математике, заключается в том, что в процессе их выполнения учащиеся вовлечены в исследовательскую деятельность, в которой происходит:

• • усвоение методов и стиля мышления, свойственных математике;
• • воспитание осознанного отношения к своему опыту;
• • формирование черт творческой деятельности, творческой самостоятельности и познавательного интереса к различным аспектам математики и т. д.

«Творческими являются только те задачи, — отмечает в своем научном исследовании В. А. Далингер, — решение которых предполагает хотя и управляемый учителем, но самостоятельный поиск решения учащихся. Наибольший эффект дают те задачи, решение которых открывает для школьников новые закономерности и правила, требует от них новых способов действия»^[3]. Ученик сам должен найти способ решения, применить знания в новых условиях, создать нечто субъективно новое.

В процессе выполнения таких домашних заданий школьники не ограничиваются репродуктивными действиями, они учатся самостоятельно определять объем недостающих знаний и пути их поиска для решения задач.

Отметим, что выбор задач, решение которых требует творческого подхода и исследовательской деятельности, зависит прежде всего от наличия у школьников исходного минимума знаний и умений. По мере накапливания знаний, развития исследовательских умений степень творческой самостоятельности в процессе поиска решения должна нарастать. Помощь учителя в дальнейшем может быть в виде общих указаний о направлении учебного исследования. В процессе выполнения таких домашних заданий школьники учатся определять объем недостающих знаний и пути их поиска для решения конкретной задачи.

Опираясь на результаты констатирующего и поискового эксперимента, нами была определена классификация учебных исследований, которые могут быть предложены в качестве продолжительного домашнего задания и направлены на развитие творческой самостоятельности учащихся (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Классификация учебных исследований, предлагаемых в качестве домашних заданий по математике.

Формирование у школьников интереса к решению задач, проведению математических учебных исследований является важнейшим средством не только развития интереса к математике и ее изучению, но и вместе с тем эффективным средством приобщения учащихся к учебной математической деятельности творческо-поискового характера (высокий уровень творческой самостоятельности). О. Б. Епишева в своей работе^[4] отмечает, что расширяется роль задач в обучении математике, так как они становятся важнейшим видом учебной деятельности, в процессе которой школьниками усваивается теория, формируются умения и навыки, развивается самостоятельность мышления.

Учебные исследования, используемые в качестве домашних заданий, развивают интерес к математике, приобщают учащихся к самостоятельной поисковой и творческой деятельности математического характера. В процессе этой деятельности учащиеся овладевают навыками наблюдения, экспериментирования, сопоставления и обобщения фактов, делают определенные выводы. Поэтому необходимо создавать условия, способствующие возникновению у учащихся познавательной потребности в приобретении знаний, в овладении способами их использования и влияющие на формирование умений и навыков исследовательской деятельности.

Развивающая функция исследовательской деятельности по математике заключается в том, что в процессе ее выполнения происходит усвоение методов и стиля мышления, свойственных математике, воспитание осознанного отношения к своему опыту, формирование черт творческой деятельности и познавательного интереса к различным аспектам математики.

Мотивом учебного исследования могут служить интерес, внутреннее противоречие, вызывающее потребность, стремление школьника к исследованию неопределенности, содержащей знания, ранее неизвестные ему. При этом проблемная ситуация является условием возникновения у субъекта деятельности внутреннего противоречия. Фиксация проблемной ситуации (вычленение основного противоречия) заканчивается формулированием проблемы — цели исследования. В учебном исследовании целеполагание становится движущей силой только тогда, когда цель субъективно важна и значительна для участника этого процесса¹.

Рассмотрим теоретические основы некоторых конкретных учебных исследований, имеющих место в методической литературе по математике.

Большое значение исследованиям в обучении математике уделял известный отечественный педагог-математик А. А. Столяр^[5][6]. Обстоятельный разговор об этом мы проводили в параграфе 1.7.

Процесс организации, методические особенности работы учителя, пути активизации исследовательской деятельности учащихся были предметом изучения Е. В. Ларькиной^[7], А. А. Окунева^[8], Э. Г. Готмана и 3. А. Скопец^[9], Г. Домкиной и Т. Лаптевой^[10], Н. И. Зильберберга^[11], Е. В. Барановой^[12].

Анализ научно-методических источников показывает, что учебные исследования целесообразно включать в процесс обучения, а также в домашнее задание по математике с целью:

• а) выявления существенных свойств понятий или отношений между ними;
• б) установления связей данного понятия с другими;
• в) выделения частных случаев некоторого факта в математике;
• г) обобщения различных вопросов;
• д) классификации математических объектов, отношений между ними, основных фактов данного раздела математики;
• е) решения задач различными способами;
• ж) отличия ошибочных рассуждений от правильных;
• з) составления новых задач, вытекающих из решения данных;
• и) работы над формулировкой и доказательством математического утверждения и т. д.

Работы методистов-исследователей, посвященные привлечению учащихся к исследовательской деятельности в процессе решения задач¹, подтверждают, что результатом такой работы является не только развитие исследовательских умений и творческой самостоятельности учащихся, но и закрепление полученных знаний, их углубление, систематизация и обобщение.

М. М. Рассудовская^[13][14] перечисляет четыре фазы творческого процесса:

• 1) подготовительная фаза (овладение материалом и концентрация мысли на творческой задаче);
• 2) инкубационная фаза — неосознанная работа еще неоформленной мысли;
• 3) творческая интуиция — нахождение принципа решения в еще неясной форме;
• 4) оформление творческого замысла.

Н. В. Новожилова^[15] отмечает, что для учебного исследования в научной сфере характерны такие этапы:

• • постановка проблемы;
• • изучение информации по этой проблематике;
• • выбор методов исследования и практическое овладение ими;
• • сбор собственного материала;
• • анализ и обобщение;
• • формулирование выводов.

А. К. Маркова¹ в качестве этапов учебного исследования предлагает следующие:

• 1) повторение и заучивание известных способов решения задач (репродуктивная деятельность);
• 2) постановка проблемы;
• 3) выдвижение гипотез;
• 4) проверка гипотез и определение выводов;
• 5) самостоятельный поиск новых проблем и новых способов их решения (творческая, продуктивная мыслительная деятельность).

О. Б. Епишева^[16][17] выделяет такие этапы проведения учебного исследования:

• • организация условий для возникновения проблемной ситуации или создание проблемной ситуации;
• • определение проблемы и ее формулировка;
• • поиск путей решения проблемы, выделение частных проблем;
• • выдвижение различных гипотез, коллективное и индивидуальное решение проблемы, проверка его правильности и исправление ошибок.

Анализ научных источников показал, что различия в содержательной стороне выделенных разными авторами этапов учебного исследования и их количестве объясняются существованием различных видов математических исследований.

Проблема, как категория дидактической логики, определяется как «знание о незнании», как некоторую разновидность вопроса, ответ на который не содержится в накопленном знании и поэтому требует соответствующих действий по получению новых знаний^[18]. «Процесс формулировки проблемы, — отмечает М. И. Махмутов, — означает, что ученик понимает возникшую перед ним задачу и в известной мере видит… пути ее решения»^[19].

Нередко задача, которая является проблемно-поисковой при изучении школьного курса математики (учебной проблемой), когда-то возникала как научная проблема. Проблемная задача отличается от проблемы тем, что в ней заведомо ограничено поле поиска решения.

В качестве психологической основы проблемного обучения обычно называют сформулированный С. Л. Рубинштейном тезис: «Мышление начинается с проблемной ситуации». Проблемная ситуация, в свою очередь, является базой, источником для построения математических задач.

Однако и не всякая проблемная ситуация порождает процесс мышления. Он не возникает, в частности, когда поиск путей разрешения проблемной ситуации непосилен для учащихся на данном этапе обучения в связи с их неподготовленностью к необходимой деятельности. Это чрезвычайно важно учесть, чтобы не включать в учебный процесс непосильных задач, способствующих не развитию самостоятельного мышления, а отвращению от него и ослаблению веры в свои силы.

Из анализа научных источников, посвященных проблемному обучению, следует, что признаками учебной проблемы являются:

• 1) порождение проблемной ситуации (в науке или в процессе обучения);
• 2) определенная готовность и определенный интерес решающего к поиску решения;
• 3) возможность неоднозначного пути решения, обусловливающая наличие различных направлений поиска.

В контексте нашего исследования немаловажным является рассмотрение вопроса о видах учебных исследований.

Приведем различные подходы ученых. Как уже отмечалось ранее, в зависимости от способа выдвижения гипотезы выделяют следующие виды учебных исследований: интуитивно-опытные; опытно-индуктивные; индуктивные; дедуктивные.

О. В. Охтеменко^[20] выделяет три вида учебных исследований: урокисследование, мини-исследование, исследовательский комплекс.

Приведем пример мини-исследования (проблемно-поисковой задачи) «Делимость чисел на 13».

Задача 1. Делятся ли все числа вида 276 276, 591 591, 112 112 и т. п. на 13? Проблема: определить закономерность поразрядного состава данных чисел.

Наиболее удачный путь к решению — учащийся находит общую формулу таких чисел: abcabc = abc-1001 и рассматривает, делится ли 1001 на 13. Данная задача интересна тем, что значительное облегчение ее решения достигается за счет ее обобщения. Формулируя более общую задачу, ученик не только облегчает решение данной конкретной задачи, но и имеет возможность увидеть новые свойства изучаемых математических объектов. Так, например, решение этой задачи дает удобный способ умножения трехзначного числа на 1001, двузначного на 101, однозначного на 11 и т. п. На основании решения этой задачи учащимся может быть предложена следующая задача.

Задача 2. Закончите предложение «Натуральное число, большее единицы, делится на тринадцать тогда и только тогда, когда…».

Предложенная классификация учебных исследований, реализующих развивающую функцию домашних заданий, определяет такие виды домашних учебных исследований, как решение проблемно-поисковых задач; составление задач; подготовка математического сочинения; подготовка реферата или доклада по теме; выполнение учебного проекта. Учитывая ступенчатую структуру учебного исследования, выделим следующие этапы решения проблемно-поисковой задачи и соответствующие им виды развивающих функций, которые реализуются в домашних заданиях по математике (табл. 4.4).

Таблица 4.4

Реализация развивающих функций домашних учебных исследований.

Результаты проведенного нами анкетирования учителей математики общеобразовательных школ показывают, что большинство педагогов считают необходимым систематическое вовлечение учащихся в учебные исследования при изучении математики, но испытывают трудности, связанные с отсутствием соответствующего методического обеспечения. Кроме того, исследовательская работа обычно занимает много учебного времени и напрямую не связана с усвоением изучаемого материала, поэтому в теории методики обучения она рассматривается в рамках исследовательского метода, а в практике обучения математике исследовательская работа проводится эпизодически и спонтанно.

Ответы на вопрос «Как вы оцениваете роль домашних учебных исследований в развитии творческой самостоятельности и ведете ли специальную работу?» показали, что 90% опрошенных учителей понимают в той или иной степени как необходимость развития творческой самостоятельности в обучении математике, так и роль домашних учебных исследований в этом процессе. Но в силу многих объективных и субъективных причин не ведут специальной целенаправленной работы, ссылаясь на низкий уровень готовности к исследовательской и творческой работе учеников, на недостаточность учебной литературы и материалов по организации самостоятельной, исследовательской работы учащихся, на отсутствие методических и специализированных учебных пособий для учителей и учащихся. В используемых в настоящее время учебных пособиях, как отметили некоторые учителя, мало заданий, которые вовлекали бы детей в поисково-исследовательскую, активную мыслительную деятельность. В них слабо представлены нестандартные и логические задания, материалы для самопроверки, задачи творческого характера, практически отсутствуют исследовательские и проблемно-поисковые задачи.

Экспериментально установлено, что большая часть опрошенных преподавателей в качестве домашних учебных исследований используют решение нестандартных и вариативных задач (в течение всего учебного года), а в рамках «Недели математики» или «НОУ» предлагают наиболее активным и интересующимся ученикам подготовку докладов и рефератов по темам, связанным с историей математики, с занимательным математическим материалом (60%). Рассматривают нестандартные задачи и задачи на доказательство лишь на кружковых занятиях по математике 75% учителей, участвовавших в опросе. Единичные случаи опроса — 5% — указывают на вовлечение учеников 6—8-х классов, занимающихся в математическом кружке, в проектную деятельность (разработку учебного проекта). Практически все учителя — 98% — испытывают трудности при организации учебных исследований учащихся, связанные с отсутствием соответствующего методического обеспечения, привычкой учащихся к репродуктивной деятельности, отсутствием у учащихся средних классов навыков самостоятельной творческо-поисковой (познавательной) деятельности.

Следовательно, необходимо создавать условия, способствующие возникновению у учащихся познавательной потребности в приобретении знаний, в овладении способами их использования и влияющие на формирование умений и навыков творческой деятельности, на развитие творческой самостоятельности, так как в процессе исследовательской деятельности учащиеся овладевают некоторыми навыками наблюдения, экспериментирования, выдвижения гипотез (предположений, идей), сопоставления и обобщения фактов, делают определенные выводы.

Из теоретического анализа литературы и анализа практики работы в школе следует, что при изучении математики наиболее целесообразно проводить учебные исследования во внеурочной работе учащихся, а именно, использовать их в качестве продолжительного домашнего задания.

Учитывая рассмотренные положения данного параграфа, можно сделать вывод, что основными признаками домашнего учебного исследования являются:

• а) постановка познавательной проблемы и цели исследования;
• б) самостоятельное выполнение учащимися поисковой работы;
• в) направленность учебного исследования обучающихся на получение новых для себя знаний;
• г) направленность учебного исследования на реализацию дидактических, развивающих и воспитательных целей обучения.

Выясним, как домашние учебные исследования по математике воздействуют на процесс развития каждого из уровней самостоятельности.

Анализ результатов констатирующего эксперимента позволил выделить критерии проявления самостоятельности учащимися при выполнении домашних заданий по математике соответственно уровням развития творческой самостоятельности (табл. 4.5).

Критерии проявления самостоятельности учащимися.

Таблица 4.5

Окончание табл. 4.5

В методике обучения математике, говоря о роли и месте математических задач, как правило, подразумевают только обучающий аспект решения задач. Ю. М. Колягин¹ отмечает, что решение определенных типов математических задач либо выступает в качестве локальной цели обучения математике, либо рассматривается как средство сознательного усвоения школьниками программного материала.

К. К. Платонов отмечает: «Лишь в отдельных случаях (в основном на внеклассных или факультативных занятиях; в школах и классах с углубленным изучением математики) задачи выступают в явном виде как средство целенаправленного математического развития учащихся, формирования у них познавательного интереса и самостоятельности, развития математических способностей…»^[21][22]

Эксперимент выявил, что задачи в обучении математике учащихся 5—6-х классов выступают в качестве ведущего средства контроля и оценки фактических математических знаний, умений и навыков и почти не используются в качестве средств развития математического мышления, творческой самостоятельности и других компонентов математического развития и воспитания. В опыте работы учителей-новаторов и творческих преподавателей новизна технологии обучения математике проявляется, прежде всего в том, что основной акцент ставится не на запоминание учащимися учебной информации, а на ее глубокое понимание, сознательное и активное усвоение, на формирование у школьников умения самостоятельно и творчески применять эту информацию при решении практических и исследовательских учебных задач.

Таким образом, в настоящее время в учебно-воспитательном процессе учебные исследования в математическом развитии учащихся и формировании их творческой самостоятельности имеют приоритет, так как в процессе выполнения домашнего учебного исследования учащиеся овладевают некоторыми навыками наблюдения, экспериментирования, выявления проблемы, выдвижения гипотез (предположений, идей), сопоставления и обобщения фактов; делают определенные выводы. В качестве домашних учебных исследований по математике предложено:

• 1) решение проблемно-поисковых задач;
• 2) самостоятельное составление математических задач;
• 3) написание математического сочинения;
• 4) выполнение учебного проекта.

• [1] Колмогоров А. Н. О профессии математика. М.: Советская наука, 1954. С. 3.
• [2] Толстой Л. Н. Педагогические сочинения / сост. Н. Н. Вейкшан (Кудрявая). М. :Педагогика, 1989. С. 225.
• [3] Далингер В. А. Самостоятельная деятельность учащихся и ее активизация при обучении математике. С. 66.
• [4] Епишева О. Б. Технология обучения математике на основе формирования приемовучебной деятельности учащихся. Теоретические основы.
• [5] Андреев В. И. Эвристическое программирование учебно-исследовательской деятельности: метод, пособие. М.: Высшая школа, 1981.
• [6] Столяр А. А. Педагогика математики.
• [7] Ларькина Е. В. Методика формирования элементов исследовательской деятельности учащихся основной школы на уроках геометрии: автореф. дис. … канд. пед. наук. М" 1996.
• [8] Окунев А. А. Спасибо за урок, дети! О развитии творческих способностей учащихся: книга для учителя: из опыта работы. М.: Просвещение, 1988.
• [9] Гетман Э. Г., Скопец 3. А. Задача одна — решения разные. Киев: Радянська школа, 1988.
• [10] Домкина Г., Лаптева Т. В одной задаче — почти вся планиметрия // Математика.1999. № 40. С. 28—30.
• [11] Зильберберг Н. Л. Урок математики: Подготовка и проведение: книга для учителя.М.: Просвещение, 1995.
• [12] Баранова Е. В. Методические основы использования учебных исследованийпри обучении геометрии в основной школе.
• [13] Гетман Э. Г. Вариации задачи о квадрате и вписанном в него треугольнике //Математика в школе. 1991. № 1. С. 26—27; Далингер В. А. Обучение учащихся решениютекстовых задач методом составления уравнений; Его же. Пропедевтика обучению учащихся доказательству теорем; Дорофеев Г. В. Математика для каждого. М.: Аякс, 1999;Его же. О составлении циклов взаимосвязанных задач // Математика в школе. 1983. № 6.С. 34—36; Окунев А. А. Спасибо за урок, дети!: О развитии творческих способностейучащихся; Рогановский Н. М. Указ, соч.; Толпекина Н. В. Методика организации учебных исследований при обучении учащихся решению уравнений, неравенств и их системс параметрами: дис. … канд. пед наук. Омск, 2002 и др.
• [14] Рассудовская М. М. Домашние задания творческого характера // Математикав школе. 1984. № 5. С. 28—30.
• [15] Новожилова Н. В. Использование Интернета в исследовательской деятельностиучителей и учащихся // Школьные технологии. 2003. № 5. С. 156—158.
• [16] Маркова А. К. Психология труда учителя: книга для учителя. М.: Просвещение, 1993.
• [17] Епишева О. Б. Технология обучения математике на основе формирования приемовучебной деятельности учащихся. Теоретические основы.
• [18] Рогановский Н. М. Указ. соч.
• [19] Махмутов М. И. Организация проблемного обучения в школе. С. 112.
• [20] Охтеменко О. В. Исследовательские задания как средства формирования познавательного интереса и развития математического мышления.
• [21] Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике Ч. I. Математические задачи каксредство обучения и развития учащихся; Ч. II. Обучение математике через задачи и обучение решению задач. М.: Просвещение, 1977.
• [22] Платонов К. К. О системе психологии. М.: Мысль, 1972. С. 92.