Потенциал электростатического поля

Продолжая полезную аналогию с потоком жидкости, мысленно выделим в нем тонкую замкнутую трубку L произвольной формы (рис. 5.5). Вообразим, что всю воду, кроме находящейся в трубке, мгновенно заморозили. Будет ли вода по ней циркулировать? Выберем направление предполагаемой циркуляции, например по часовой стрелке.

Рис. 5.5 В каждой точке трубки частицы воды с массой Ат

и скоростью v имеют в направлении элементов dl составляющие импульса Amvdl. Поскольку вода несжимаема, они «толкают» всю воду в трубке. Следовательно, циркуляция определяется суммой.

Если сумма равна нулю, то циркуляции нет, но тогда ее нет и в отсутствие трубки и заморозки, т. е. по такому контуру нет завихрения. Если же сумма (5.14) нулю не равна, то завихрение существует.

Рассмотренный пример позволяет понять, почему интеграл назы;

L

вается циркуляцией (см. также формулы (2.13), (2.14)).

Переходя теперь к вектору Е, можно его циркуляцию получить сразу: поскольку силовые линии вектора Е начинаются и заканчиваются только на зарядах, они вихрей вне зарядов образовать не могут, т. е. циркуляция равна нулю. Представим, что в электростатическом поле мы движемся по произвольной траектории 1−2-3, а затем возвращаемся к точке 1 через произвольную точку 4: 3−4-1, получая в целом замкнутую траекторию. Тогда.

При умножении обеих частей равенства на q они превращаются в работу. Поэтому работа электростатических сил на замкнутой траектории равна нулю или (что то же) их работа не зависит от формы траектории.

Это означает, что электростатические силы, как и силы тяготения, являются консервативными.

В математическом отношении формула (5.15) означает, что Еdl является полным дифференциалом некоторой функции ф:

Отсюда следует физический смысл ф. Левая часть (5.16) с точностью до коэффициента q есть работа: <�уЕ^// = 5Л = -qckp.

ВОПРОС. Как работа консервативной силы сказывается на энергии тела?

ОТВЕТ был получен при рассмотрении силы тяготения (см. параграф 2.2): работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии:

Если в данном случае отнести потенциальную энергию Е_п к единичному заряду, то ф проявляется как энергетическая характеристика электростатического ноля. Ее называют потенциалом:

Потенциал данной точки поля показывает, какую потенциальную энергию имеет помещенный в нее единичный положительный заряд.

Единицей потенциала является вольт (В). Из формулы (5.18) следует: 1 В = 1 Дж/Кл, а из формулы (5.16) следует единица напряженности В/м. Интегрируя соотношение (5.16) в пределах от одной точки поля до другой, можно найти разность потенциалов между ними. Полагая, что на бесконечном удалении от заряда созданное им поле уже не действует (ф = 0), можно вычислить и абсолютное значение потенциала. Например, для точки, находящейся па расстоянии г от точечного заряда,.

где использовано Edl = Edlcos, а = Edr. Пользуясь формулой (5.19), нетрудно убедиться, что принцип суперпозиции распространяется и па потенциал: потенциал данной точки поля, созданного системой зарядов, равен сумме потенциалов полей, образованных каждым из них в отдельности.

Поверхность с постоянным потенциалом называется эквипотенциальной поверхностью. Ее форма, например, для поля точечного заряда следует из формулы (5.19): ф = const при г = const, т. е. она является сферической. Поскольку силовые линии здесь радиальны, они перпендикулярны эквинотенцнальной поверхности.

ВОПРОС. Всегда ли это так — ведь и силовые линии, и эквипотенциальные поверхности могут иметь самые разные формы?

ОТВЕТ. При перемещении по эквипотенциальной поверхности <�Лр = 0, т.с. 8Л = 0, несмотря на то что EV 0. Это возможно лишь в том случае, если вектор Е ортогонален вектору dl (это изучают в лабораторном практикуме).

Таким образом, силовые линии всегда ортогональны эквипотенциальным поверхностям.

Если в электростатическое поле попадает свободный заряд, то оно преобразует свою потенциальную энергию в работу' по его перемещению, которая идет на приращение кинетической энергии носителя заряда. Например, в электроннолучевой трубке электростатическое поле разгоняет электроны так, что их ущары о люминофор экрана вызывают его флуоресценцию. При v_n = 0.

Отсюда и внесистемная единица энергии, которой пользуются при рассмотрении явлений электромагнетизма, — электронвольт (эВ): 1 эВ = = 1,6−10 ¹⁹ Кл-В = 1,6−10 ¹⁹ Дж.