Критерий устойчивости Михайлова

Критерий был сформулирован А. В. Михайловым в 1938 г. и базируется на принципе аргумента функции комплексной переменной.

Для анализа устойчивости системы предлагается исследовать характеристический комплекс F (j (o), который получается из характеристического полинома заменой р наусо и имеет вид.

Выделим в комплексе (4.17) вещественную и мнимую части, а также модуль и фазу:

При конкретном числовом значении частоты (со = со,) характеристический комплекс (4.18) представляет собой комплексное число FO’co,), которое можно изобразить на плоскости в виде вектора, соединяющего начало координат с точкой (/?Дсо);у7Дсо)).

При изменении со от 0 до оо конец вектора F (jco) выписывает на комплексной плоскости некоторую кривую, которую называют годографом

Рис. 4.8. Пример годографа Михайлова.

Михайлова (рис. 4.8). Причем начинается годограф, как следует из соотношения (4.17), в точке с координатами («,;/)).

Формулировка критерия Михайлова: для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении о) от 0 до ⁰⁰ начинался на вещественной оси в точке а, и проходил последовательно против часовой стрелки п квадрантов комплексной плоскости, не обращаясь в нуль и стремясь к оо «_п-м квадранте.

С целью доказательства критерия проанализируем, как связаны корни характеристического уравнения с видом годографа Михайлова. Поскольку полином (4.16) можно представить как произведение простых сомножителей характеристический комплекс (4.17) также принимает вид.

Его можно представить в форме.

Из выражений (4.18) и (4.21) следует, что.

Если характеристическое уравнение системы содержит комплексно-сопряженные корни с нулевой вещественной частью, то при определенном значении частоты со = (о₀ один из сомножителей в выражении (4.20) обратится в нуль. Следовательно, ЛДсо) = 0 и F (ja> = 0. В случае устойчивой системы корни расположены только в левой полуплоскости плоскости корней и не могут быть чисто мнимыми, следовательно, в нуль годограф Михайлова не обращается.

Определим теперь угол поворота вектора F (ja> при изменении частоты от 0 до Предварительно рассмотрим отдельные сомножители выражения (4.20) и угол поворота соответствующего вектора. При этом выделим несколько вариантов корней.

1. Корень характеристического уравнения вещественный и отрицательный, т. е. Л, = -а_у, а, > 0. Соответствующий сомножитель в выражении (4.20) имеет вид /-'(/со) =j(о + а,. Изобразим этот элементарный вектор на комплексной плоскости; при изменении со от 0 до °° вещественная часть /((/со) остается неизменной и равна а, а мнимая часть возрастает до бесконечности (рис. 4.9).

Рис. 4.9. Элементарный вектор, соответствующий устойчивому вещественному корню.

Следовательно, устойчивому вещественному корню соответствует угол поворота элементарного вектора ср, = +л/2.

Аналогично можно определить угол поворота элементарного вектора /?(/со) =;со — а, для случая вещественного положительного корня характеристического уравнения А, = +а,. Он будет равен ср, = -л/2.

2. Рассмотрим теперь пару устойчивых комплексно-сопряженных корней A, ,_{+ 1} = -а_; ± Д и соответствующий им угол поворота произведения (сс_; +Д +/со)(а, — Д +".

У этих двух векторов начальные (разы одинаковы по модулю (ср₀), но имеют противоположные знаки. 11ри изменении со от 0 до оо один вектор поворачивается на угол, равный ср, = ср₀ + л/2, а второй — на угол ср,_{+ 1} = = -ср₀ + л/2 (рис. 4.10).

Рис. 4.10. Векторы, соответствующие устойчивым комплексно-сопряженным корням.

Суммарный угол поворота для пары устойчивых комплексно-сопряженных корней равен +л.

Если комплексно-сопряженные корни имеют положительную вещественную часть, то суммарный угол поворота равенл.

Таким образом, в устойчивой системе каждый из п корней даст приращение фазы ср, = +л/2, а общий угол поворота /'(/со) согласно соотношению (4.23) равен +(со/2)", что и требовалось доказать. Вид годографа Михайлова для устойчивой и неустойчивой систем третьего порядка приведен на рис. 4.11.

Условием границы устойчивости является обращение в нуль годографа Михайлова при некотором значении частоты со = со₀. Аналитически это условие можно записать в виде.

Рис. 4.11. Годографы Михайлова устойчивой (а) и неустойчивой (б) систем, п = 3.

Здесь «м₀ — частота незатухающих колебаний, возникающих в системе, которая находится на границе устойчивости.

Пример 4.5. Проверит!" устойчивость системы, структурная схема которой представлена на рис. 4.12.

Рис. 4.12. Структурная схема исследуемой системы.

Решение

Здесь.

Определим передаточную функцию замкнутой системы:

Запишем ее характеристический полином:

Заменой р на /со перейдем к выражению для годографа Михайлова:

Представим его в форме.

С целью построения годографа Михайлова вычислим значения вещественной и мнимой частей при конкретных значениях частоты и занесем их в таблицу.

По данным таблицы построим годограф Михайлова (рис. 4.13).

Как видим, годограф проходит последовательно три квадранта, не обращаясь в нуль и стремясь к бесконечности в третьем квадранте. Следовательно, исследуемая система устойчива.

Рис. 4.13. Годограф Михайлова для примера 4.5.

Пример 4.6. Проверить устойчивость системы, структурная схема которой приведена на рис. 4.14. Данная система представляет собой упрощенную модель одного из сочленений руки робота-манипулятора. Исполнительным механизмом является двигатель постоянного тока (см. пример 2.4), а соединение с рукой осуществляется через редуктор.

Рис. 4.14. Структурная схема руки робота.

Здесь и_я — напряжение, подаваемое на якорь двигателя; со — угловая скорость вращения двигателя; 0, — угол поворота вала двигателя; 0₂ — угол поворота руки.

Решение

При отсутствии возмущений взаимосвязь между скоростью вращения двигателя со и входным напряжением (/" определяет передаточная функция (см. пример 2.8)

а угол поворота вала двигателя 0, связан с его угловой скоростью вращения за;

висимостыо со = 0,. Ей соответствует на схеме вторая передаточная функция -.

Р

Редуктор представляет собой безынерционное звено с передаточной функцией 1.

Wp (p) = где г — передаточное отношение редуктора.

Проверим устойчивость системы при следующих значениях параметров передаточ пых фуикс си й:

Определим общую передаточную функцию сочленения руки робота:

Запишем характеристический полином:

Заменив р на /со, перейдем к выражению для годографа Михайлова которое представим в форме

Поскольку при со = 0 вещественная и мнимая части F (jw) одновременно обращаются в нуль, то годограф Михайлова начинается в начале координат. Это означает, что система находится на границе устойчивости.