Математическое описание процесса смешения при сопутствующем измельчении

Рассматривая процессы смешения композиций, состоящих из твердых мелкодисперсных сыпучих материалов, выделим и рассмотрим случай, когда периодический процесс смешения осуществляется при сопутствующем измельчении смешиваемых частиц. Такой метод смешения широко распространен на практике, реализуется в барабанных (инерционных) смесителях, вибросмесителях, мельницах и т. д. и используется тогда, когда необходимо получить качественную смесь тонкоизмельченных твердых компонентов, например песка н извести в производстве силикатных стеновых материалов, селитры и тротила в производстве промышленных взрывчатых смесей 1108].

Исследования процесса смешения твердых мелкодисперсных сыпучих материалов, а также таких материалов с высоковязкпми жидкостями [48, 104] показали, что его можно рассматривать как случайный марковский процесс, непрерывный во времени и дискретный в пространстве частиц. Считаем, что эти положения следует использовать при описании процесса при сопутствующем измельчении [1081.

Смешение объединений компонентов А и В и образование смеси при сопутствующем измельчении представим схемой.

согласно которой из двух эквивалентных объединений частиц А и В образуется наименьший возможный ассоциат смеси АВ. Наличие в схеме ветвей В_х, В₂,.. ._tZ?iи Л, Л₂,.. Ajуказывает на то, что любая частица смеси одновременно подвергается измельчению.

Обозначим через X, (/) и Х₂ (t) случайные величины, характеризующие количество объединений из частиц А к В в момент времени t в рабочем объеме смесителя. Пусть х_х, х₂, (x_f 1) — целочисленные значения, которые эти случайные величины могут принимать. Рассмотрим поведение случайной величины Х_х (/). Для этого обозначим через Р_л. (О вероятность того, что целочисленная величина Х_х (/) примет значение х_х, т. с. P_x,(t) = {X, (г) = г,}, где я, = 1, 2,. .. .. ., х*,.. ?ц.; ?ц. — максимальное число объединений частиц сорта Л, которое при завершении процесса смешения и измельчения находится в смесителе; х* — максимальное число объединений, которое не вошло бы в ассоциаты смеси при отсутствии измельчения частиц.

Полагаем, что процесс смешения при сопутствующем измельчении соответствует марковскому процессу гибели популяций, а появление дополнительных частиц за счет измельчения от х* до хц. — сопутствующий однородный марковский процесс рождения популяций. Будем полагать, что интенсивность марковского процесса смешения равна p_Xl = р/г*, где h_Xx = х_хх₂. Такое постулирование интенсивности марковского процесса применено в работах 193, 941, где показана его целесообразность. Далее положим, что интенсивность однородного марковского процесса рождения — измельчения равна y. v, = Y^xi* При этом будем считать, что интенсивности измельчения частиц Л и В одинаковы. Б соответствии с постулатами марковского процесса гибели и рождения можно записать соотношение вероятностей [1081.

где первый член правой части означает, что в интервале t, t -f- At не произойдет изменения в системе, второй и третий характеризуют вероятность перехода системы из х в х ± 1, а четвертый показывает, что в системе погибнет или появится более одного объединения частиц сорта Л.

При t —>- 0 из (1.195) получим систему дифференциальных уравнений. описывающих процесс смешения в аппарате при сопутствующем измельчении:

При изучении процессов смешения исследователь располагает ограниченной информацией и не может выделить из объема смеси ассоциаты АВ, а значит, и определить соответствующие различным моментам времени значения вероятности P_Xi (t). Поэтому в системе (1.196) целесообразно сделать переход от вероятностей к моментам распределения. Для этого уравнения системы (1.196) умножим на х_г в соответствующем состоянии, а затем левые и правые части уравнений просуммируем по х_и при этом численные значения x_t в левой части введем под производную. После суммирования получим.

Подставляя вместо h_Xl его значения и учитывая, что х_х (t) и х_г (/) в соответствии со схемой процесса характеризуются одним законом распределения вероятностей, а также проводя преобразования, аналогичные п. 1.2.1. получим где m_Xl (/) и т_Хг (t) — математические ожидания числа объединений частиц А и В в смеси в момент времени t. Уравнение (1.198) записано через значения чисел объединений частиц сорта А и В, принимающих участие в смешении; использовать такое уравнение затруднительно, поэтому целесообразно от чисел объединений частиц сделать переход к концентрациям компонентов А и В, соответствующим числам объединений частиц, не вошедших в ассоциаты смеси АВ.

Для перехода к концентрациям компонентов поступим аналогично выкладкам п. 1.2.1, а также работам [48, 1041 — умножим обе части уравнения (1.198) на выражение.

где а' = ay_AV_A, b' = Ьу_вУв — веса объединений частиц сортов А и В; а, b — число частиц в каждом объединении; V_А, Vb — объемы частиц; у_А, ув — удельные веса материалов. Очевидно, что при измельчении материалов в смесителе, описываемом в виде однородного марковского процесса, средние числа объединений N_A и принимающих участие в процессе, возрастают по закону N_A = N_Alle^yt, Nb = Nb^¹; средние веса объединений соответственно уменьшаются по закону а' = а_не-v", Ъ' = где N_Ali, Nb_h, ^ак, К — числа и веса объединений частиц сортов А к В в смесителе в момент времени / = 0; у — параметр, характеризующий скорость измельчения смешиваемых компонентов. Знаменатель в выражении (1.199) остается постоянной величиной, так как вес загрузки материала в смесителе не изменяется. Из сказанного следует, что выражение, на которое умножается уравнение (1.198), есть функция времени вида a^e-Vbne-V/iN_Аа' -f Nbb')² = / (t). Для получения концентраций под производной воспользуемся свойством производной от произведения, согласно которому.

Уравнение (1.198) в удобной для преобразований форме будет выглядеть следующим образом:

В уравнении (1.200) величины m_Xx) a l (Nа&' 4- NвЬ') и ^тх_г (0 Ь7(А^гл"^/ + Neb') — весовые концентрации компонентов несмешанных объединений А и В.

После преобразований, аналогичных проведенным в п. 1.2.1, уравнение (1.200) будет иметь вид.

где к — константа скорости процесса; к = р (.N_Aа' + Ав^'У^н* Ввиду того что в рабочем объеме смеси выполняется условие (с_А — т_А) = (Св — тв), окончательно имеем.

где D_a — дисперсия, замедляющая процесс смешения компонента А. Уравнение (1.201) описывает изменение концентрации компонента А в процессе смешения при сопутствующем измельчении. Аналогичное уравнение можно получить и для компонента В.