О необходимых условиях в простейшей задаче вариационного исчисления

Наличие нескольких независимых переменных, как уже отмечалось, серьезно усложняет решение задачи и придает системе необходимых и достаточных условий экстремума качественно новый характер. Причем само число независимых переменных не является принципиальным источником трудностей при численном решении задачи, поскольку их характер при двух или трех независимых переменных разнится только технически. При этом именно эти случаи и являются наиболее интересными с позиций инженерной практики. Далее для простоты вкладок ограничимся двумя независимыми переменными.

Где же появляются названные принципиальные трудности?! Говоря упрощенно, они появляются, например, при рассмотрении неравенств Вейершграсса, где важными оказываются вариации не только величин вариаций и их производных, но и форма геометрии области варьирования.

Постановка простейшей задачи вариационного исчисления для функции двух независимых переменных

Пусть односвязная область Q с заданной кусочно-гладкой границей Улежит в плоскости (х, у). Пусть также задан функционал^[1], определенный на множестве функций — поверхностей z (x, у),.

Далее будем рассматривать задачу о минимуме функционала У, значение которого, очевидно, зависит от выбора поверхности z{x, у) и производных z. и zДля краткости записи введем обозначения А" у

Итак, экстремум (6.1) разыскиваем среди непрерывных функций z (x, у) с заданными значениями на границе r) Q:

Теперь поступаем аналогично тому, как мы это делали для одной независимой переменной в п. 1.3. Пусть z* — экстремальная, а Z — допустимая поверхность. Тогда.

и полное приращение функционала.

где А/' — полная вариация подынтегральной функции Определим вариации:

которые принадлежат пространству С¹ (Q) непрерывных на Q функций, имеющих там кусочно-непрерывные производные:

отмечая при этом, что для вариации бz на границе в согласии с (6.2).

вариации Ьр и bq рассмотрим подробно далее.

Выражение (6.4) с учетом (6.5) можно записать в виде.

бf и б²/— первая и вторая вариации подынтегральной функции f В таком случае, используя представления (6.7), полное приращение функционала (6.3) может быть записано в виде.

где.

— первая и вторая вариации функционала J.

Вариации бz считаем допустимыми при условии их непрерывности и в предположении, что выполнено условие на границе (6.6). Также предполагаем, что вариации связаны условиями:

т. е. имеет место перестановочность операций варьирования и дифференцирования.

Получим необходимые условия для определения экстремальной функции z>(x, y).

Как и прежде, на экстремали z«(х, у)

б/ = 0,.

при этом в ее окрестности б²/>0,.

так как ищется относительный минимум.

• [1] Мы предполагаем, что здесь функционал зависит от одной функциидвух независимых переменных.