Принципы и подходы к построению моделей

Процессы моделирования, создания моделей не имеют формализованного алгоритма их проведения. Исследование любой достаточно сложной системы имеет свои особенности, требует творческого, индивидуального подхода. Тем не менее существует большой опыт построения разнообразных моделей, который позволяет сформулировать основные принципы и подходы, определяющие требования, которым должна удовлетворять удачно построенная модель. Суть и назначение некоторых из этих принципов излагаются ниже.

1. Адекватность (или тождественность) модели. Этот принцип определяет требование соответствия модели системе-оригиналу по совокупности исследуемых свойств, по уровню их сложности и организации. Естественно говорить не просто об адекватности модели, а о большей или меньшей адекватности. Адекватность следует рассматривать только по определенным признакам — свойствам, принятым в данном исследовании. Так, например, для простейшей системы колебания груза массой т на горизонтальной плоскости под действием пружины нулевой массы с жесткостью k с медленным затуханием при определении частоты колебаний адекватной моделью будет следующая математическая модель:

где х — координата отклонения груза; t — время.

Если же нас интересует скорость затухания, то адекватной будет уже другая математическая модель:

где / — коэффициент трения.

• 2. Соответствие модели решаемой задачи. Этот принцип подчеркивает целесообразность конструирования специализированных моделей для решения конкретной задачи. Разработка универсальной модели для решения многих разнообразных задач в большинстве случаев оказывается трудновыполнимой, а сама модель оказывается практически непригодной.
• 3. Соответствие сложности модели и требований исследования существенных свойств системы-оригинала, а также точности результатов моделирования. Этот принцип определяет целесообразность уменьшения сложности модели за счет абстрагирования от несущественных деталей, поскольку модель в общем случае должна быть проще исследуемой системы. Однако модель может быть упрощена только до уровня, обеспечивающего оценку существенных свойств системы с требуемой точностью. Таким образом, имеется два противоречивых требования: с одной стороны, необходимо понижать сложность модели, а с другой — обеспечивать необходимую точность исследования существенных свойств системы. Выходом из этого противоречия может явиться выполнение следующих рекомендаций:
  • • исключение несущественных переменных, объединение нескольких переменных, чем достигается сокращение их общего числа;
  • • изменение природы рассматриваемых параметров и (или) функциональной зависимости между ними. Например, некоторые переменные параметры рассматривать как постоянные, дискретные — как непрерывные, нелинейные зависимости — как линейные;
  • • изменение пределов ограничений, а также их возможное исключение, модификация или включение дополнительных ограничений;
  • • установление разумной точности модели. Например, точность результатов моделирования не может быть выше точности исходных данных.

Приведем некоторые примеры выполнения указанных рекомендаций. Во-первых, рассмотрим одну из возможных задач для иллюстрации сокращения числа переменных¹. Пусть необходимо составить таблицу, с помощью которой можно было бы решать полное кубическое уравнение.

где х — независимое переменное; а, b_yc, d— коэффициенты уравнения.

Таким образом, здесь имеется четыре параметра — коэффициенты а_у/;, с_у dy которые могут принимать любые задаваемые значения. Тогда, если допустить, что каждый из них может принимать 50 значений, то получится 50⁴ * 6 • 10⁶ комбинаций этих значений. Только печать этих результатов может занять несколько дней. Этими результатами практически невозможно будет пользоваться. Покажем, как можно свести эти четыре параметра к одному. Сделав подстановку х = аи + р в исходное кубическое уравнение, получим уравнение для и:

где и — независимое переменное; аир — коэффициенты.

Выберем аир так, чтобы имели место соотношения.

Отсюда находим.

¹ См. подробнее: Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей. М.: Книжный дом «ЛИБЕРКОМ», 2014.

Эго уравнение содержит всего один параметр г, и таблицу его решений нетрудно составить. Решение исходного уравнения находится с помощью составленной таблицы и простых арифметических действий по схеме.

где а, Ь — коэффициенты исходного кубического уравнения; аир — коэффициенты в уравнении х = аи + р; q и г — промежуточные величины.

Выражения для их расчета приведены выше.

В качестве следующего примера рассмотрим линеаризацию как особо часто используемую в практической деятельности. Линеаризация обычно проводится в двух случаях: либо отклонение от линейности в рассматриваемых диапазонах изменения переменных невелико и несущественно, либо же если диапазоны изменения малы, что позволяет заменять приращения переменных на их дифференциалы, отбрасывая члены высшего порядка малости. Покажем последнюю процедуру на формальном примере. Пусть величины х, г/, z связаны уравнением.

где х, у, z — независимые переменные.

Это уравнение при x = 2, z/ = -l, 2 = 0 удовлетворяется. Пусть теперь эти величины мало изменились, т. е. стало х = 2 + ?, г/ = — 1 + r|, 2 = ?, где |, |г| |, |(?| малы. Требуется найти линейное соотношение между r|, Q справедливое с точностью до членов высшего порядка малости; другими словами, требуется провести линеаризацию приведенного выше уравнения. Для этого продифференцируем его:

где da, dy, dz — дифференциалы х, г/, z соответственно.

Подставив сюда вместо х, г/, z их исходные значения, а вместо дифференциалов — приращения соответствующих переменных (при этом мы пренебрегаем величинами высшего порядка малости — в этом и состоит линеаризация), получим.

т.е.

где г, С, — приращения независимых переменных х, г/, г соответственно.

Линеаризованное уравнение гораздо проще исходного. Его можно записать и в переменных х, г/, z:

где х, у, 2 — исходные независимые переменные.

Геометрический смысл проведенной линеаризации таков: мы получили уравнение касательной плоскости к поверхности, описываемой исходным уравнением, в пространстве х, у, 2 в заданной точке (2,-1, 0).

Приведем еще один пример линеаризации. Пусть эксперимент, имевший N реализаций, привел к зависимости, которую можно определить степенной функцией.

где у — полученная функция; х — независимая переменная; а и b — параметры.

В полученную функцию параметр b входит нелинейно. Параметры а и b неизвестны, и их необходимо определить по экспериментальным данным. Прологарифмировав степенную функцию и обозначив 1 пу = У, пх = X, In а = А мы получим функцию.

где У = 1 пу — вновь полученная функция; X = пх — новое независимое переменное; А = 1па — новый коэффициент.

В новую функцию параметры А и Ь входят линейно. Поэтому, применив метод наименьших квадратов, мы легко получим значения параметров А и Ь. Через параметр А легко вычисляется и параметр а:

где Yj — i-e значение функции У; X, — i-c значение переменной X; А и /; — коэффициенты; N — число реализаций.

• 4. Конструирование модели в виде отдельных достаточно самостоятельных, законченных элементов (блоков). Использование этого принципа облегчает разработку сложных моделей за счет многократного использования одних и тех же блоков и обеспечения связей между ними. Структуризация блоков в основном осуществляется в соответствии с выполняемыми ими функциями.
• 5. Многовариантность построения элементов (блоков) модели исходя из предъявляемых к ним требованиям, прежде всего по точности выходных параметров. Многовариантность элементов обеспечивает рациональное построение модели системы в целом.

Говоря о подходах к построению моделей систем, необходимо иметь в виду, что к созданию модели можно приступать на основе исходных данных, которые либо уже известны, либо могут быть получены тем или иным способом. В зависимости от конкретной ситуации это может быть:

• • непосредственный анализ создаваемой или совершенствуемой системы;
• • проведение эксперимента на функционирующей системе или на ее фрагменте;
• • анализ систем-аналогов.

Построение моделей, как правило, носит итеративный характер. Процесс конструирования модели начинается с создания достаточно простых моделей, позволяющих глубже понять исследуемую систему. Кроме того, на их создание затрачиваются сравнительно небольшие материальные и временные ресурсы. Создаваемые затем более сложные модели используются для учета влияния гораздо более широкого параметров на результаты моделирования. Для моделирования сложных систем необходимо разрабатывать целый ряд иерархических моделей, различающихся уровнем отображаемых функций и точностью определения выходных параметров модели.