Интегральная функция распределения вероятностей дискретной случайной величины

Закон распределения вероятностей случайной величины можно задавать с помощью интегральной функции распределения.

Интегральной функцией распределения называется функция F (X), для каждого значения х определяющая вероятность того, что случайная величина X примет значение меньшее х, т. е.

где х — произвольное вещественное число.

Геометрически это равенство можно истолковать так: F (X) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, лежащее на числовой оси левее точки х. Часто вместо «интегральная функция» пользуются термином «функция распределения».

Если X — дискретная случайная величина, то ее функция распределения вероятностей определяется посредством равенства.

Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (а, Ь),.

Пример 5.5. Дискретная случайная величина X (число больных с некоторым заболеванием) задана в табл. 5.6:

Таблица 5.6. Закон распределения вероятностей числа больных.

Найти функцию распределения вероятностей и начертить ее график.

Решение. 1. Если дг таково, что х < 1, то F (X) = 0. Действительно, значений, меньше числа 1, случайная величина X не принимает. Итак, при х< функция.

2. Если I < х < 4, то F (x) = 0,5. Действительно, пусть, в частности, х = 3, тогда F (3) означает вероятность события X < 3. Однако случайная величина X лишь в одном случае принимает значение, меньшее 3, а именно 1 с вероятностью 0,5. Таким образом, при 1 < х < 4 функция

3. Если 4 < х < 6, то F (x) = 0,5. Действительно, X может принимать значение 1 с вероятностью 0,5 или значение 4 с вероятностью 0,4. Эти события несовместны, поэтому по теореме сложения вероятностей

4. Точно такие рассуждения при х>6 приведут к следующему выражению функции распределения вероятностей дискретной случайной величины:

Итак, функция распределения вероятностей имеет вид:

График функции распределения вероятностей F (x) случайной величины изображен на рис. 5.2.

Пример 5.6, Пользуясь функцией распределения, полученной в предыдущем примере, найти вероятность того, что число больных с некоторым заболеванием не менее одного и меньше четырех.

Решение. Применим формулу (5.6) для нахождения вероятности искомой случайной величины X (числа больных с некоторым заболеванием) Рис. 52. График функции Дх) При, а = 1,6 = 4 получим.