Эмпирическая функция распределения

Пусть дана выборка объема п. Для любого числа х обозначим через т_х число значений выборки х_их₂, х_г,…, х", удовлетворяющих неравенству х, < х.

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения), построенной по случайной выборке X_], X₂, X_i,…, X" объема п, называют функцию.

определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < х,

Геометрически это равенство можно истолковать так: F (x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки х.

Например, для того чтобы найти F"(x₃), надо число вариант т₃, меньших х₃, разделить на объем выборки и, т. е. F_n(x_i) — >щ/п.

Функция F_n(x) обладает следующими свойствами:

• 1) значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0,1];
• 2) F"(х) — неубывающая функция;
• 3) если х, — наименьшая варианта, то7^г«(х) = 0 прих<�лг,; если х_к — наибольшая варианта, то F_n(x) = 1 при х>х_к.

Эмпирическая функция распределения F"(x) обладает всеми свойствами обычной функции распределения (см. гл. 5).

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F (x) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Различие между ними состоит в том, что теоретическая функция распределения F (x) определяет вероятность события X < х, а эмпирическая функция распределения F"(x) определяет относительную частоту этого же события.

Методами теории вероятностей доказывается, что F"(x) с увеличением п утрачивает случайный характер и сколь угодно приближается к теоретической функции распределения F (x).

Если статистическое распределение выборки задано частотными табл. 7.1 или 7.2, то.

где суммирование вероятностей р' ведут по всем тем значениям /, для которых х, < х.

В частности, если статистическое распределение выборки задано табл. 7.2, то эмпирическая функция распределения равна нулю, если х < х, равна единице при х > х_к и.

еслих, <�х<�х,₊₁; / = 1,2,3,…Д-1.

Пример 7.3. При измерении систолического артериального давления для случайным образом отобранных 15 пациентов клиники получены следующие результаты: 123, 120, 125, 127, 124, 123, 121, 129, 125, 123, 124, 124, 122, 128, 125 мм рт. ст. Найти эмпирическую функцию распределения данной выборки.

Решение. Расположим значения выборки в возрастающем порядке: 120, 121, 122, 123, 123, 123, 124, 124, 124, 125, 125, 125, 127, 128, 129. Из полученных результатов следует, что в данной выборке содержатся 9 различных значений X.

Определим эмпирическую функцию распределения:

1) На промежуткеа><�х<120 случайная величина А" не принимает ни одного значения меньшего числа 120, поэтому.

2) На промежутке 120<�х<121 случайная величина принимает значения Х<121, при этом = 120 наблюдалось 1 раз, следовательно, т_х = 1. По формулам (7.8) и (7.9) найдем эмпирическую функция распределения.

3) На промежутке 121 < эс < 122 значения X < 122, при этом *1 = 120 и Х2= 121 наблюдались 1+1 =2 раза, следовательно, т_х = 2. Таким образом,

Аналогично рассуждая, определим значения функции распределения в остальных промежутках: 122<�х<123, 123 <�х <, 124, 124<�х<125, 125 < х ^ 127, 127<�х<128, 128<�х¹²⁹.

На промежутке)29<�х<�оо величина, А может принимать любое из всех свих возможных значений, поэтому.

Итак, эмпирическая функция распределения имеет вид:

Пример 7.4. Случайная величина X — число суток дежурства медицинского персонала в некоторой поликлинике за месяц представлена в форме таблицы распределения относительных частот (табл. 7.11). Найти функцию распределения F"(x) числа суток дежурства персонала и построить график этой функции.

Таблица 7.11. Статистический ряд распределения относительных частот числа суток дежурства медицинского персонала_.

Решение. По условию задачи распределение выборки задано в форме табл. 7.2. В соответствии с формулой (7.11) имеем:

Искомый график функции F"(x) представлен на рис. 7.8.

Рис. 7.8. График функции распределения F"(x).