Условная вероятность события. 
Независимые события

Как отмечено выше, вероятность Р (В) как мера степени объективной возможности наступления события В имеет смысл при выполнении определенного комплекса условий. При изменении условий вероятность события В может измениться. Так, если к комплексу условий, при котором изучалась вероятность Р (В), добавить новое условие А, то полученная вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В и обозначается Р_Л(В) или Р (В/А).

Найдем формулу для вычисления условной вероятности Рл (В).

Пусть из общего числа п равновозможных и несовместных (элементарных) исходов испытания событию А благоприятствует т случаев, событию В — k случаев, а совместному появлению событий А и В, т. е. событию АВ — I случаев (/< т, /< к) (рис. 12.4).

Тогда согласно классическому определению вероятности.

После того как событие А произошло, число всех равновозможных исходов сократилось с п до т, а число случаев,.

Рис. 12.4. Ряд элементарных исходов испытания благоприятствующих событию В, с k до /. Поэтому условная вероятность.

Умножая правую и левую части равенств (12.7) и (12.8) соответственно на Р (Л) и Р (В), получим.

Это так называемая теорема (правило) умножения вероятностей: вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло.

Пример 12.7. Правоохранительные органы занимаются розыском двух рецидивистов. Вероятность поимки одного из разыскиваемых преступников равна 0,2. Если один из преступников будет задержан, то вероятность поимки другого возрастет до 0,5. Чему равна вероятность того, что будут задержаны оба преступника?

Решение. Пусть событие А — задержание первого преступника, В — задержание второго. События А и В зависимые, так как событие В зависит от того, произойдет ли событие /1.

По условию вероятность поимки одного преступника Р (А) = 0,2, а вероятность задержания второго преступника при условии, что первый пойман, Р (В/А) = 0,5.

Тогда по теореме умножения вероятностей получим вероятность поимки обоих преступников: Р (АВ) = Р (А)Р (В/А) = = 0,2 0,5 = 0,1.

В случае, когда Р (Л) = 0 или Р (В) = 0, формулы (12.7) и (12.8) для условных вероятностей не имеют смысла, ибо невозможно событие Л или В, однако теорема (правило) умножения вероятностей (12.9) остается верной и при Р (Л) = 0, Р (В) = 0.

Теорема (правило) умножения вероятностей легко обобщается на случай произвольного числа событий:

т.с. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других; при этом условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

Пример 12.8. На предприятии, производящем высокоточную аппаратуру оборонного значения, происходит постоянная утечка сведений, составляющих государственную тайну. В результате расследования установлено, что доступ к этой информации имели пять человек. Для обнаружения виновного производится последовательная замена каждого из этих сотрудников новым до тех пор, пока утечка информации не прекратится. Какова вероятность того, что придется заменить: а) 2 человека; б)4 человека?

Решение, а) Обозначим события:

Aj — i-й сотрудник не передавал конфиденциальные сведения, i = 1,2,…, 5;

В — замена двух человек.

Очевидно, что придется заменить двух человек, если первый сотрудник не передавал конфиденциальные сведения (четыре шанса из пяти), а второй — передавал (один шанс из оставшихся четырех), т. е. В = АВ₂. Теперь по теореме умножения вероятностей (12.9).

б) Пусть событие С — замена четырех сотрудников. Очевидно, что С = АА₂АзВь и по теореме умножения (12.9)

Пример 12.9. Свидетель запомнил, что в номере машины, сбившей пешехода, две «1» и одна «3». Следователь случайным образом составляет номера подходящих машин. Какова вероятность того, что следователь первым запишет и проверит автомобиль, совершивший наезд, если его номер 131?

Решение. Пусть событие В — проверка первой машины с номером 131. Событие В наступит, если первый следователь запишет цифру 1 (два шанса из трех), второй — цифру 3 (один шанс из оставшихся двух), третий — цифру 1 (один шанс из оставшегося одного). По теореме умножения.

Теорема умножения вероятностей принимает наиболее простой вид, когда события, образующие произведение, независимы.

Событие В называется независимым от события Л, если его вероятность не меняется от того, произошло событие А или нет, т. е.

В противном случае (Р/(В) Р (В)) событие В называется зависимым от события Л. Если событие В не зависит от события Л, то и событие Л не зависит от события В.

Так как по условию событие В не зависит от события Л, то Р_Л(В)=Р (В).

Запишем формулу умножения вероятностей (11.9) в двух видах:

Заменяя Рл (В) на Р (В), получим Р (А)Р (В) = Р (В)Р_в(А)_у откуда, полагая, что Р (В) * 0, получим Р_В(А) = Р (А)_У т. е. событие Л не зависит от события В.

Таким образом, зависимость и независимость событий всегда взаимны. Поэтому можно дать следующее определение независимости событий.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности наступления другого.

Пример 12.10. Правоохранительные органы обнаружили склад наркотических средств и устроили засаду. Первым был задержан мужчина, от которого узнали, что в преступную группу, занимающуюся распространением наркотиков, входят три мужчины и две женщины. Найти вероятность того, что во второй раз сотрудники задержат тоже мужчину. Установить, зависимы или нет эти события.

Решение. Пусть события Л и В — задержание мужчины в первый и второй раз соответственно.

Очевидно, что вероятность задержания мужчины в первый раз Р (А) = ½. Вероятность задержания мужчины во второй раз зависит от того, кто (мужчина или женщина) был задержан в первый раз. В первом случае Рл (В) = 2/4, а во втором случае Р_в(В) = ¾, так как из оставшихся в преступной группе четырех человек мужчин будет соответственно два или три.

Следовательно события А к В зависимые, так как Рд (В) ^ *Р (В).

Несколько событий Л _ь Л₂,…, А_п называются независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы любые два из них и независимы любое из данных событий и любые комбинации (произведения) остальных событий. В противном случае события А, А₂, …, А" называются зависимыми.

Например, три события Л), Л₂, Л₃ независимы (независимы в совокупности), если независимы события А и Л₂, Л₂ и Л3, Л (и Л₃, Л] и Л₂Л₃, Л₂ и Л]Л₃, Л₃ и Л]Л₂.

Для независимых событий теорема (правило) умножения вероятностей для двух и нескольких событий примет вид.

т.е. вероятность произведения двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Пример 12.11. На заседании Государственной Думы стоит вопрос о принятии трех законов. Вероятность принятия первого закона равна 0,8, второго — 0,7, третьего — 0,9. Какова вероятность того, что на заседании будут приняты все три закона?

Решение. Обозначим события:

Л/ — принятие г-го закона (г = 1, 2, 3);

В — приняты все три закона.

Очевидно, что В = Л^Лз, причем события Л[, Л₂, Л₃ — независимы. По формуле умножения вероятностей (12.12) для независимых событий.

При решении ряда задач требуется найти вероятность суммы двух или нескольких совместных событий, т. е. вероятность появления хотя бы одного из этих событий. Напомним, что в этом случае применять теорему сложения вероятностей в виде (12.3) нельзя.

Теорема 12.2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения, т. е.

В справедливости формулы (12.13) можно наглядно убедиться, изучив рис. 12.5.

В случае трех и более совместных событий соответствующая формула для вероятности суммы Р (Л_Х + Л₂ + … + Л") весьма громоздка, поэтому проще перейти к противоположному событию В:

Рис. 12.5. Вероятность суммы двух совместных событий.

т.е. вероятность суммы нескольких совместных событий равна разности между единицей и вероятностью произведения противоположных событий В, В₂,…, В".

Тогда.

Если при этом события B_h В₂,… В" — независимые, то.

В частном случае, если вероятности независимых событий равны: Р (А) = Р (А₂) = … = Р (А_п) = р, то вероятность их суммы

Пример 12.12. Студент пришел на экзамен, выучив только 20 из 30 вопросов программы. В экзаменационном билете содержится три вопроса. Определить вероятность того, что студент ответит:

• а) на все три вопроса;
• б) хотя бы на один вопрос.

Решение. Обозначим события следующим образом:

А — студент знает все три вопроса;

Л, — студент знает первый вопрос;

А2 — студент знает второй вопрос;

/1_:) — студент знает третий вопрос.

Тогда по условию.

а) Искомое событие А состоит в совместном наступлении событий Л], /Ь, Л;!- События Л, А₂, Л₃ — зависимые. Следовательно, вероятность события Л согласно правилу умножения вероятностей зависимых событий (12.12) определяется следующим образом:

Таким образом, вероятность того, что студент ответит на все три вопроса билета, равна 0,28.

б) Обозначим через В событие, состоящее в том, что студент ответит хотя бы па один вопрос.

Очевидно, что событие В равносильно тому, что произойдет или событие А, а события Л₂ и Л₃ не произойдут, или произойдет событие Л₂, а события А и Л₃ не произойдут, или произойдет событие Л₃, а события А_{ и А₂ не произойдут, или произойдут события А и А₂, а событие Л₃ не произойдет, или произойдут события А и Л₃, а событие Л₂ не произойдет, или произойдут события А₂ и Л₃, а событие Л нс произойдет, или произойдут все три события Л _1? Л₂ и Л₃.

Для решения этой задачи можно воспользоваться правилами сложения и умножения вероятностей. Однако проще применить правило определения вероятности наступления хотя бы одного из зависимых событий (12.15).

Учитывая, что.

получим.

Таким образом, вероятность того, что студент ответит хотя бы на один вопрос, равна 0,9294.

Пример 12.13. Для выявления свидетелей совершенного преступления правоохранительные органы поместили информацию о нем на специальных информационных стендах «Их разыскивает милиция». Кроме того, примерное описание преступников и обстоятельств совершенного преступления постоянно передавали по телевидению в специальных информационных выпусках. Вероятность того, что возможный свидетель увидит информационный выпуск по телевидению, равна 0,1, а сообщение на информационном стенде — 0,05. Чему равна вероятность того, что свидетель увидит: а) и телевизионную передачу, и информацию на стенде; б) хотя бы одно информационное сообщение?

Решение. Обозначим события следующим образом:

Л — свидетель увидит информационный выпуск, но телевидению;

В — свидетель прочтет информацию на специальном информационном стенде;

С — свидетель увидит хотя бы одно информационное сообщение (т.е. или увидит информационную передачу по телевидению, или прочтет информацию на информационном стенде, или увидит по телевидению и прочтет на информационном стенде).

По условию Р (Л) = 0,1; Р (В) = 0,05.

События А и В — совместные и независимые.

а) Поскольку вероятность искомого события есть вероятность совместного наступления независимых событий А и В_у т. е. их произведения, то для решения задачи используется правило умножения вероятностей для независимых событий: Р (АВ) = Р (А)Р (В) = 0,1 • 0,05 = 0, 005.

Таким образом, вероятность того, что свидетель увидит информационную передачу по телевидению и прочтет информацию на информационном стенде, равна 0,005.

б) Так как событие С состоит в наступлении хотя бы одного из событий А и В, то искомая вероятность может быть найдена с помощью правила сложения вероятностей:

Вероятность того, что свидетель увидит хотя бы одно информационное сообщение, равна 0,145.

Рассматриваемую задачу можно решить и другим способом, используя правило определения вероятности наступления хотя бы одного из независимых событий.

Учитывая, что.

и получим Пример 12.14. Уголовное дело будет проиграно в суде либо если свидетель Иванов откажется давать показания, либо если свидетели Петров и Сидоров откажутся одновременно давать показания. Свидетели могут отказаться давать показания независимо друг от друга с вероятностями, равными соответственно 0,1; 0,2; 0,3. Какова вероятность того, что уголовное дело будет проиграно?

Решение. Обозначим события:

А[ — отказ от дачи показаний свидетеля Иванова;

А₂ — отказ от дачи показаний свидетеля Петрова;

Лз — отказ от дачи показаний свидетеля Сидорова;

В — уголовное дело проиграно.

Очевидно, по условию событие В произойдет, если произойдет либо событие Л1, либо А₂ Л3, т. е. В= А + А₂ Л3. Теперь, по формуле (9.13).

Пример 12.15. На 100 лотерейных билетов приходится пять выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному билету, если приобретено: а) два билета; б) четыре билета?

Решение. Пусть событие Д — выигрыш по i-му билету (г = = 0,1,2, 3,4).

а) По формуле (12.13) вероятность выигрыша хотя бы по одному из двух билетов.

б) По формуле (12.14) вероятность выигрыша хотя бы по одному из четырех билетов.