Задачи уравновешивания и динамики

Решение задач кинематики манипуляторов, рассмотренные в параграфе 25.1, позволяют найти фактическое движение схвата в зависимости от относительного движения в управляемых кинематических парах от обобщенных координат. Для исследования механизмов манипуляторов промышленных роботов могут использоваться все известные методы теории механизмов. Так, для определения всех сил и моментов в управляющих кинематических парах при заданном движении звеньев манипулятора можно воспользоваться методами кинетостатики. При этом под внешним силовым фактором, рассматриваемом в этом методе, подразумевают управляющие моменты (во вращательных парах) или управляющие силы (в поступательных). В процессе движения промышленного манипуляционного механизма управляющие силы изменяются, и, для того чтобы воспроизвести заданное движение схвата, управляющая система приводами должна обеспечить переменные моменты и силы, изменяющиеся параметры которых как раз и определяется методами кинетостатики.

Требования по быстродействию, предъявляемые к манипуляционному механизму, приводят, как правило, к значительным управляющим силам. Более того, анализ показывает, что при рассмотрении кинетостатики реальной конструкции любой из рассмотренных ранее схем (рис. 24.3—24.7) управляющие моменты оказываются существенно большими, чем можно предположить исходя из массы манипулируемого объекта и размеров манипулятора. Эта разница, неблагоприятно сказывающаяся на конструкциях приводов и системах управления ими, возникает главным образом из-за того, что приводам приходится кроме силы тяжести полезного груза «удерживать» и силы тяжести звеньев, и силы тяжести самих приводов, как правило, размещаемых непосредственно на звеньях промышленных роботов (ПР).

Так, при рассмотрении сил для схемы ПР по рис. 25.2, а, б видно, что если момент М₃₂ при неподвижном схвате зависит от силы веса G₃ звена 3 и его абсолютного положения:

то момент М₂₁ зависит не только от массы звена 2, что естественно, но и от момента М₂₃ (рис. 25.2, в):

где М₂₁ и М₂₃ — управляющие моменты, действующие между звеньями i и j (первый индекс /=1,2, 3,… указывает номер звена, к которому приложен момент сил); |/₉₁ — угловая координата звена / = 21 в неподвижной системе координат.

Эти дополнительные переменные момента, зависящие от положения звеньев, безусловно вредны. Они фактически маскируют полезную нагрузку и требуют более мощных двигателей. Однако более мощные двигатели имеют и большие весовые характеристики. Это в свою очередь требует дополнительных усилий на преодоление их увеличившейся массы и т. д. Поэтому конструкции манипуляторов получаются громоздкими, их масса становится значительно больше массы груза.

Рассмотрим статическое уравновешивание звеньев манипулятора путем введения дополнительных корректирующих масс на примере схемы манипулятора (рис. 25.3). Уравновесим вначале массу третьего звена. Статический момент корректирующей массы т_ку необходимый для этого, G_K3 • r_K3 — G₃ • /_С53.

Рис. 25.2.

Можно уравновесить и сам полезный груз, увеличив корректирующую массу и выполнив условие:

Однако этого, как правило, не делают, так как заранее неизвестно, с грузом какой массы будет работать робот. После введения корректирующей массы m_k3 = G'_m/g момент М₃₂ становится равным нулю (или из него исключается составляющая от силы тяжести (?₃).

Рис. 253.

Корректирующие массы на втором и первом звеньях можно определить, исходя из аналогичного условия равенства нулю статических управляющих моментов М₂₁ и М₁₀:

Здесь стоит обратить внимание на то обстоятельство, что при определении корректирующих масс т_К1 = G_K2 / g и т_К{ = G_Kj / g приходится учитывать не только собственные массы звеньев 1 и 2, но и уже найденные корректирующие массы, т. е. уравновешивать также и корректирующие массы предыдущих звеньев.

Если, например, принять, что массы всех звеньев рассматриваемого манипулятора одинаковы, центры масс их расположены посередине звеньев (l_Si = ½) и r_Ki = /₅., то корректирующая масса на первом звене в 17 раз больше массы любого из звеньев. При этом происходит суммарное увеличение массы всего манипуляционного механизма более чем в 8 раз. Такое достаточно простое решение не может быть признано рациональным, не говоря уже о том, что сами корректирующие массы располагаются в рабочем пространстве ПР и уменьшают его.

Иногда удается использовать в качестве корректирующих масс сами двигатели, смещая их так, чтобы центры масс не проходили через центры вращения кинематических пар. На практике редко используют полное статическое уравновешивание звеньев манипулятора, а ограничиваются одной-двумя наиболее массивными корректирующими массами, т. е. проводят неполное уравновешивание.

Значительно более перспективным представляется статическое уравновешивание звеньев манипулятора с помощью пружин. Однако непосредственное их использование затруднительно, так как обычная пружина имеет линейный закон изменения силы от деформации, тогда как значения необходимых статических моментов уравновешивания зависят от тригонометрических функций углов положения звеньев манипулятора. Тем не менее на практике известен ряд пружинных механизмов, дающих необходимую зависимость «сила — перемещение», что и позволяет с их помощью точно решить задачу уравновешивания.

Один из наиболее простых механизмов показан на рис. 25.4, а. Пружина растяжения одним концом в точке А жестко закрепляется на качающемся звене, а другим концом через трос и блок В неподвижно закрепляется в точке Е. Если сила тяжести звена G и расстояние до его центра масс от точки О равно 1₀₅, то, выбрав жесткость пружины равной G = Gl_os/ (l_cJ_0E) (Н/м), мы полностью уравновесим его силу тяжести, т. е. достигнем эффекта, аналогичного эффекту применения корректирующей массы (противовеса).

В случае уравновешивания многозвенной кинематической цепи каждое звено уравновешивают отдельно, а «неподвижную» точку для каждого звена создают искусственно, используя, например, механизм транслятора — последовательность нараллелограммных механизмов (рис. 25.4, б).

Для определения фактического движения звеньев ПР иод действием приложенных управляющих сил и моментов необходимо составить уравнения динамики. Для этого можно воспользоваться традиционными методами динамики, например уравнениями Лагранжа, или рассмотреть равновесие каждого звена с использованием принципа Даламбера. Каждый из методов имеет свои достоинства и недостатки, и поэтому нельзя однозначно рекомендовать какой-либо из них.

Так, в методе Лагранжа необходимо вначале найти полную кинетическую энергию всего механизма, выражая ее через обобщенные координаты и скорости. Затем составить систему уравнений:

Число этих уравнений W равно числу степеней подвижности манипулятора, и это является одним из достоинств метода. Обобщенные силы Q. могут быть найдены методами приведения (из условия равенства элементарных работ всех внешних сил на возможных перемещениях работе обобщенной силы Q. при изменении только одной обобщенной координаты q.). Как правило, это будут сами неизвестные управляющие моменты или силы. При этом силы реакций в кинематических парах манипулятора в уравнения не входят — и это также является достоинством метода.

Однако само аналитическое выражение кинетической энергии звеньев манипулятора очень громоздко. Полная кинетическая энергия Т. складывается из суммы кинетических энергий каждого из звеньев, которые можно записать в общем случае так:

где v. — абсолютная скорость центра масс звена; со. — угловая скорость звена; т. — масса звена— момент инерции звена относительно оси, совпадающей с мгновенной осью угловой скорости.

Этот момент инерции для звена произвольной несимметричной формы вычислить очень сложно. Некоторого упрощения можно добиться, если взять звено симметричной формы с главными центральными осями инерции, совпадающими с осями координат.

Но это лишь часть проблемы. Кинематические зависимости, приведенные в параграфе 25.1, определяющие зависимость скорости центра масс и его угловой скорости, достаточно громоздки. Эта громоздкость многократно увеличивается при выполнении необходимых в методе Лагранжа дифференцирований кинетической энергии. Все это даже для манипулятора с несколькими звеньями приводит к сложным многостраничным записям точных аналитических выражений для W дифференциальных уравнений движения, как правило, не дающих какой-либо возможности найти их аналитическое решение.

Поэтому чаще всего прибегают к численному анализу уже па этапе получения самих уравнений движения путем численного выполнения процедур дифференцирования. Полученные уравнения затем решают также численными методами.

При использовании принципа Даламбера механизм разбивают па отдельные звенья и рассматривают равновесие каждого звена, т. е. записывают систему уравнений:

где q_si и со, — подлежащие определению ускорение центра масс г-го звена и его угловое ускорение; F., М. — внешние силы и моменты, приложенные к звену; F. — реакции в кинематических парах; M_V}, M_s(F_Vj) — моменты сил реакции и моменты от сил реакции на звено относительно центра масс звена.

Проецируя каждое из этих векторных дифференциальных уравнений на оси координат, получим систему из 6 W скалярных уравнений.

Таким образом, хотя сами уравнения и существенно проще, их в шесть раз больше. Кроме того, в эти уравнения входят силы и моменты реакций, которые при определении закона движения необходимо из системы уравнений исключить.

Должно быть понятно, что и метод Лагранжа, и принцип Даламбера описывают движение одной и той же системы, поэтому результирующая система уравнений после исключения реакций будет одинаковой, хотя для численного анализа полная система уравнений, согласно принципу Даламбера, более благоприятна. Общая форма дифференциальных уравнений движения, полученных любым способом, имеет вид.

где {Л} — инерционная матрица; {#} — вектор сил и моментов сил инерции; {С} — вектор сил и моментов сил тяжести; Q — обобщенная сила; [ q ] — матрица-столбец обобщенных ускорений.

Эта система W нелинейных дифференциальных уравнений в общем случае не имеет аналитического решения и может быть проанализирована только численными методами. Так, для манипулятора с одной вращательной и двумя поступательными парами (рис. 25.5), т. е. с тремя обобщенными координатами г₃₂, ср_|0 и z_2V система уравнений движения имеет вид:

Последнее из трех уравнений независимо от других, чего нельзя сказать о первых. В первом уравнении есть член b_t, зависящий не только от выдвижения звена 3, но и от скорости его поворота. Такое явление называют взаимовлиянием приводов друг на друга, и оно, безусловно, вредно.

Рис. 25.5.

Исключения этого взаимовлияния, т. е. динамической развязки, иногда удается достичь таким подбором коэффициентов, чтобы система дифференциальных уравнений движения представляла собой W независимых уравнений. Такое решение позволяет при тех же приводах существенно увеличить ускорение и, следовательно, быстродействие робота.

И наконец, еще на одном нетрадиционном методе улучшения динамики некоторых манипуляторов следует остановиться. Очень часто, работая в технологической цепи, манипуляционный механизм совершает одни и те же повторяющиеся движения: при работе циклически — взять деталь, перенести ее на стеллаж, вернуться за следующей и т. д. Работа циклического привода в этом случае происходит в такой последовательности: разгон, торможение, останов, реверс, снова разгон, торможение, останов, реверс и т. д. Таким образом, дважды за цикл робот останавливается, его энергия полностью теряется. Кроме бесполезного расхода энергии это сказывается и на быстродействии — ведь дважды за цикл приходится разгонять значительные инерционные массы звеньев.

Представляется целесообразным энергию торможения в конце цикла не рассеивать на тормозе, а запасать в каком-либо устройстве накопления потенциальной энергии (например, пружине), с тем чтобы использовать ее при разгоне системы. Это должно существенно уменьшить мощность и массу привода, так как основной универсальный цикл система будет совершать под действием пружины, т. е. совершать колебания, а привод (весьма небольшой) потребуется только для компенсации неизбежных потерь на трение, т. е. для создания режима автоколебаний. Общая схема такого привода приведена в [ 171.

Контрольные вопросы и задания к главам 24—25

• 1. Что такое манипулятор, автооператор, промышленный робот?
• 2. Для чего предназначены промышленные роботы?
• 3. В чем заключаются особенности структуры кинематических цепей манипуляторов промышленных роботов?
• 4. От чего зависят двигательные возможности манипулятора промышленного робота?
• 5. Что такое подвижность манипулятора? Как она определяется?
• 6. Дайте определение рабочего пространства, зоны обслуживания манипулятора и его маневренности (на любом примере).