Корреляционный анализ нормального закона распределения

На основании данных приложений провести корреляционный анализ:

Определить оценки параметров шестимерного нормального закона распределения (векторы средних арифметических и среднеквадратического отклонения, матрица парных коэффициентов корреляции).

Получить оценку матрицы частных коэффициентов корреляции. Проверить значимость и найти интервальные оценки частных коэффициентов корреляции.

Найти оценки шести множественных коэффициентов корреляции (детерминации). Проверить их значимость, предварительно выбрав уровень б.

Дать интерпретацию полученным результатам корреляционного анализа.

Даны показатели производственно-хозяйственной деятельности предприятий машиностроения:

Y1 — производительность труда;

X5 — удельный вес рабочих в составе ППП;

X7 — коэффициент сменности оборудования;

X9 — удельный вес потерь от брака;

X11 — среднегодовая численность ППП;

X17 — непроизводственные расходы.

Решение:

1. В результате использования пакета «Анализ данных» в Excel и программы Statistaca получаем векторы средних арифметических и среднеквадратического отклонения и матрицу парных коэффициентов корреляции:

Векторы средних арифметических:

Векторы среднеквадратических отклонений:

По данным 53 предприятий имеем что:

Средняя производительность труда составила 7,970 при среднеквадратическом отклонении 2,610.

Удельный вес рабочих в составе ППП составил 0,735 при среднеквадратическом отклонении 0,053.

Коэффициент сменности оборудования составил 1,339 при среднеквадратическом отклонении 0,142.

Среднегодовая численность ППП составила 14 707,792 при среднеквадратическом отклонении 9907,129.

Непроизводственные расходы составили 19,570 при среднеквадратическом отклонении 4,702.

Матрица парных коэффициентов корреляции

Красным цветом обозначены значимые парные коэффициенты корреляции.

RY1X5 = 0,055 — связь между производительностью труда и удельным весом рабочих в составе ППП — заметная положительная.

RY1X7 = 0,203 — связь между производительностью труда и коэффициентом сменности оборудования — слабая положительная.

RY1X9 = -0,083 — связь между производительностью труда и удельным весом потерь от брака — высокая отрицательная.

RY1X11 = 0,484 — связь между производительностью труда и среднегодовой численностью ППП — умеренная положительная.

RY1X17 = 0,018 — связь между производительностью труда и непроизводственными расходами — слабая положительная.

RX5X7 = 0,415 — связь между удельным весом рабочих в составе ППП и коэффициентом сменности оборудования — умеренная положительная.

RX5X9 = 0,363 — связь между удельным весом рабочих в составе ППП и удельным весом потерь от брака — умеренная положительная.

RX5X11 = 0,192 — связь между удельным весом рабочих в составе ППП и среднегодовой численностью ППП — слабая положительная.

RX5X17 = -0,940 — связь между удельным весом рабочих в составе ППП и непроизводственными расходами — весьма высокая отрицательная.

RX7X9 = 0,270 — связь между коэффициентом сменности оборудования и удельным весом потерь от брака — слабая положительная.

RX7X11 = 0,224 — связь между удельным весом потерь от брака и среднегодовой численностью ППП — слабая положительная.

RX7X17 = -0,389 — связь между коэффициентом сменности оборудования и непроизводственными расходами — умеренная отрицательная.

RX9X11 = -0,023 — связи между коэффициентом сменности оборудования и среднегодовой численностью ППП — не выявлено.

RX9X17 = -0,378 — связь между удельным весом потерь от брака и непроизводственными расходами — умеренная отрицательная.

RX11X17 = 0,001 — связи между среднегодовой численностью ППП и непроизводственными расходами — не выявлено.

Найдем интервальные оценки для значимых парных коэффициентов корреляции с заданной надежностью г = 1-б при б =0,05:

1). RY1X11 = 0,484

Строим доверительный интервал:

M (Z)є (Z-д; Z+д), где д=0,002

Находим Z-преобразование Фишера

Z= 0,528

tг=0,1034 — находится по таблице функции Лапласа В результате получаем доверительный интервал M (Z)=(0,526; 0,530).

Аналогично находим доверительные интервалы и для других значимых коэффициентов корреляции.

2). RX5X7 = 0,415

M (Z)=(0,440; 0,444).

3). RX5X9 = 0,363

M (Z)=(0,378; 0,382).

4). RX5X17 = -0,940

M (Z)=(-1,736; -1,740).

5). RX7X17 = -0,389

M (Z)=(-0,409; -0,413).

6). RX9X17 = -0,378

M (Z)=(-0,396 -0,400).

Вывод: Для значимых парных коэффициентов найдены доверительные интервалы и установлены следующие связи:

умеренная линейная положительная связь между производительностью труда и среднегодовой численностью ППП;

умеренная положительная связь удельным весом рабочих в составе ППП и коэффициентом сменности оборудования;

умеренная положительная связь между удельным весом рабочих в составе ППП и удельным весом потерь от брака;

весьма высокая отрицательная связь между удельным весом рабочих в составе ППП и непроизводственными расходами;

умеренная отрицательная связь между коэффициентом сменности оборудования и непроизводственными расходами;

умеренная отрицательная связь между удельным весом потерь от брака и непроизводственными расходами.

2. Определим частные коэффициенты корреляции позволяющие очистить связь от влияния других переменных. В результате расчетов в программе Statistica получаем матрицу частных коэффициентов корреляции.

Красным цветом обозначены значимые коэффициенты.

Найдем для них доверительные интервалы:

1). Ry1x11=Rx11y1= 0,426

M (Z)є (Z-д; Z+д), где д= 0,039

Находим Z-преобразование Фишера

Z= 0,455

tг=1,96 — находится по таблице функции Лапласа В результате получаем доверительный интервал M (Z)=(0,416; 0,495).

Аналогично находим доверительные интервалы и для других значимых коэффициентов корреляции:

2). Rx5x17=Rx17×5= -0,946

M (Z)=(-1,754; -1,832).

3). Rx5x11= Rx11×5= 0,537

M (Z)=(0,560; 0,639).

4). Rx11×17=Rx17×11= 0,522

M (Z)=(0,539; 0,618).

Вывод:

выявлена умеренная линейная положительная связь между производительностью труда и среднегодовой численностью ППП;

весьма высокая линейная отрицательная связь между удельным весом рабочих в составе ППП и непроизводственными расходами;

заметная линейная положительная связь между удельным весом рабочих в составе ППП и среднегодовой численностью ППП;

заметная линейная положительная связь между среднегодовой численностью ППП и непроизводственными расходами.

3. В результате расчетов получаем множественные коэффициенты корреляции:

Определяем Fнабл. и Fкр для каждого множественного коэффициента корреляции:

Вывод: Исходя из полученных данных можно сказать что только коэффициент Ry1 является статистически значимым.

Множественный коэффициент корреляции Ry1 — между производительностью труда с одной стороны, удельным весом рабочих в составе ППП, коэффициентом сменности оборудования, удельным весом потерь от брака, среднегодовой численностью ППП и непроизводственными расходами с другой = 0,506 385 — связь между этими показателями заметная положительная.

Доверительные интервалы коэффициентов корреляции Найдем интервальные оценки для значимых парных коэффициентов корреляции при б =0,05 по таблице Z-преобразования Фишера:

Ry1x11 = 0.484

Ry1x11 є (0.484−0.5230; 0.484+0.5230)

Ry1x11 є (-0.039; 1.007)

Rx5x7 = 0.415

Rx5x7 є (0.415−0.4356; 0.415+0.4356)

Rx5x7 є (-0.0206; 0.8506)

Rx5x9 = 0.363

Rx5x9 є (0.363−0,3767; 0.363+0,3767)

Rx5x9 є (-0,0137;0,7397)

Rx5x17 = -0.940

Rx5x17 є (-0.940−1.7381; -0.940+1.7381)

Rx5x17 є (-2.6781; 0.7981)

Rx7x17 = -0.389

Rx7x17 є (-0.389−0.4181; -0.389+0.4181)

Rx7x17 є (-0.8071; 0.0291)

Rx9x17 = -0.378

Rx9x17 є (-0.378−0.4001; -0.378+0.4001)

Rx9x17 є (-0.7781; 0.0221)

Найдем доверительные интервалы для значимых частных коэффициентов корреляции:

Ry1x11 = Rx11y1 = 0.426

Ry1x11 = Rx11y1 є (0.426−0.4599; 0.426+0.4599)

Ry1x11 = Rx11y1 є (-0.0339; 0.8859)

Rx5x17 = Rx17×5 = -0.946

Rx5x17 = Rx17×5 є (-0.946−1.8318; -0.946+1.8318)

Rx5x17 = Rx17×5 є (-2.7778; 0.8858)

Rx5x11 = Rx11×5 = 0.537

Rx5x11 = Rx11×5 є (0.537−0.6042; 0.537+0.6042)

Rx5x11 = Rx11×5 є (-0.0672; 1.1412)

Rx11×17 = Rx17×11 = 0.522

Rx11×17 = Rx17×11 є (0.522−0.5764; 0.522+0.5764)

Rx11×17 = Rx17×11 є (-0.0544; 1.0984)

3. В результате расчетов получаем множественные коэффициенты корреляции:

Определяем Fнабл. и Fкр для каждого множественного коэффициента корреляции:

Вывод: Исходя из полученных данных можно сказать, что коэффициенты Ry1, Rx5 Rx7, Rx11, Rx17 являются статистически значимыми.

Множественный коэффициент корреляции Ry1 — между производительностью труда с одной стороны, удельным весом рабочих в составе ППП, коэффициентом сменности оборудования, удельным весом потерь от брака, среднегодовой численностью ППП и непроизводственными расходами с другой = 0,511 527 — связь между этими показателями заметная положительная.

Множественный коэффициент корреляции Rx5 — между удельным весом рабочих в составе ППП с одной стороны, производительностью труда, коэффициентом сменности оборудования, удельным весом потерь от брака, среднегодовой численностью ППП и непроизводственными расходами с другой = 0,960 292 — связь между этими показателями весьма высокая положительная.

Множественный коэффициент корреляции Rx7 — между коэффициентом сменности оборудования с одной стороны, производительностью труда, удельным весом рабочих в составе ППП, удельным весом потерь от брака, среднегодовой численностью ППП и непроизводственными расходами с другой =0,487 848 — связь между этими показателями умеренная положительная.

Множественный коэффициент корреляции Rx11 — между среднегодовой численностью ППП с одной стороны, производительностью труда, удельным весом рабочих в составе ППП, удельным весом потерь от брака, коэффициентом сменности оборудования и непроизводственными расходами с другой =0,684 389 — связь между этими показателями заметная положительная.

Множественный коэффициент корреляции Rx17 — между непроизводственными расходами одной стороны, производительностью труда, удельным весом рабочих в составе ППП, удельным весом потерь от брака, коэффициентом сменности оборудования и среднегодовой численностью ППП с другой =0,959 113 — связь между этими показателями весьма высокая положительная.