Предисловие. 
Числовые системы

Усвоение понятия числа проходит несколько этапов: от интуитивного представления о числах к анализу знаний о них, выделению в этих знаниях первичных истин, выстраиванию знаний о числах аксиоматически. В курсе «Числовые системы» студентам предоставляется возможность с высоты накопленных знаний проанализировать школьные утверждения о числах, понять, о чем порой умалчивают школьные учебники, говоря о числах, какие научные основы скрываются за упрощенным, образным изложением соответствующего материала в школе.

Пособие адресовано студентам математических специальностей педагогических коллеждей. В нем изложен семестровый материал по дисциплине «Числовые системы» в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования по специальности «Педагогическое образование». Цель дисциплины — углубить и расширить представление будущего учителя математики о числах, перевести интуитивные знания о числах на твердую основу выводов, исходя из аксиом.

В результате изучения курса студент должен освоить: трудовые действия

• • владение числовыми основами школьной математики; необходим ые умения
• • доказывать основные теоремы теории числовых систем, включая обоснование полной математической индукции;
• • строить модели аксиоматической теории каждой следующей числовой системы на базе предыдущей для доказательства непротиворечивости теории;
• • доказывать теорему Фробениуса, которая носит завершающий характер;

необходим ые тан ия

• • определения основных понятий: бинарной алгебраической операции, бинарного отношения, алгебраической системы, аксиоматические определения систем натуральных, целых, рациональных, действительных чисел и кватернионов;
• • доказательства свойств сложения, умножения и отношения «меньше» для натуральных чисел;
• • основные свойства каждой числовой системы, изоморфизм одноименных числовых систем.

Особенностью изложения материала является его школьная направленность. При формулировке аксиоматического определения каждой числовой системы, изучаемой в школе, дастся анализ школьного определения соответствующих чисел. Отрабатывается техника доказательств по индукции. Большое внимание уделяется представлению рациональных и действительных чисел десятичными дробями, что позволяет дать полное обоснование соответствующего школьного материала.

Несколько слов о месте дисциплины «Числовые системы» в общей системе подготовки школьного учителя. С одной стороны, школьный учитель нс может состояться без упомянутых знаний, с другой стороны, может возникнуть искушение начать обучение в колледже с обоснования «учения о числах», а затем использовать числа в разных дисциплинах, опираясь на этот «вводный материал». Но вчерашний школьник не в состоянии, например, понять, зачем так трудно и такой долгой дорогой доказывается «очевидное» утверждение о том, что во всяком непустом подмножестве натуральных чисел есть самое маленькое число. Доказательство «очевидного с помощью непонятного» вызывает естественное отторжение. Таким образом, место дисциплины «Числовые системы» на последнем курсе подготовки бакалавра, что позволяет посмотреть на числа с высоты накопленных знаний и понять, что в них первично.

Несколько слов об обозначениях. Все определения и утверждения, начиная со второй главы, пронумерованы тремя числами: номер главы, номер параграфа и номер определения или утверждения в этом параграфе. В первой вводной главе нет параграфов, поэтому используется двойная нумерация. Конец доказательства помечается значком ?. Знак <=* заменяет слова «тогда и только тогда, когда». При доказательстве теоремы вида А В начало доказательства утверждения А => В обозначается знаком (=>), а начало доказательства обратного утверждения В => А — знаком (<=). Остальные не общепринятые значки вводятся и объясняются по мере надобности.