Приложение. 
Проверка закона Ома для последовательной цепи переменного тока

вынужденные электрические колебания. МЕТОД КОМПЛЕКСНЫХ АМПЛИТУД Для контура, состоящего из последовательно соединённых R, L, C, сумма падений напряжений на элементах цепи равна внешней э.д.с.: U_L+U_a+U_c=е₀ cos wt или переменный ток сопротивление цепь.

Для нахождения решения этого линейного дифференциального уравнения с правой частью воспользуемся методом комплексных амплитуд, который применим для установившегося режима колебаний. Метод основан на двух идеях: 1) переменные токи и напряжения могут быть представлены комплексными числами; 2) при заданной частоте любая ветвь или элемент контура характеризуются отношением напряжения к току.

Первая идея основана на математическом тождестве.

(20).

где j²=-1, б — вещественное число.

На применении этой формулы основано следующее правило. Переменный ток I₀cos (wt+ ц) можно представить комплексным числом I₀e^jц, т. е. числом, действительная часть которого равна I₀ cos ц, а мнимая часть равна I₀ sin ц, и наоборот, если комплексное число Z=x+jy представляет ток I, то ток, как функция времени, выражается действительной частью произведения.

(x+jy)e^jwt.

Исходя из сказанного, заменим уравнение 19 уравнением с комплексной частью.

(21).

Правая часть этого уравнения является вещественной частью правой части уравнения 21.

Будем искать решение уравнения 21 в виде.

(22).

где ?₀ — комплексная амплитуда тока.

Подставляя 22 в 21 и сокращая на e^jwt, найдём.

Величина, стоящая в квадратных скобках, носит название импеданса цепи и обозначается обычно Ћ.

(24).

Выражение для Ћ не зависит от начальных условий и определяется только свойствами элементов цепи, т. е. импеданс является характеристикой электрической цепи.

Подстановка 24 в 23 даёт (25).

Полученное выражение полностью эквивалентно закону Ома. Роль сопротивления играет в нём импеданс цепи.

Левая часть уравнения 25 не является комплексным только для случая, когда начальная фаза колебаний э.д.с. равна нулю.

В общем случае, если е=е₀cos (wt+б) в правой части уравнения 21 будет Э₀e^jwt=е₀e^jб e^jwt=е₀e^{j (б+wt)}

В этом случае уравнение 25 перейдёт в уравнение.

(26).

которое имеет общий характер.

Исследуем свойства импеданса Ћ. Выражение для Ћ содержит действительную часть, называемую обычно активным сопротивлением цепи, и мнимую часть, называемую реактивным сопротивлением или реактансом.

Импеданс индуктивности равен jwL, импеданс ёмкости импеданс омического сопротивления R.

Подставим Ћ в показательной форме:

где Z₀ — модуль импеданса,.

где ц = y— сдвиг фаз между током и напряжением, определяется отношением мнимой к действительной частей импеданса.

Решения, полученные методом комплексных амплитуд, допускают простую геометрическую интерпретацию. Комплексное число Ћ=Z₀ e ^jy представляется в комплексной плоскости вектором, длина которого равна Z₀. Угол, составляемый вектором с вещественной осью, равен ц.

Таким образом, представляя индуктивное сопротивление как jwL, а ёмкостное как 1/jwC, можно рассчитывать сложные электрические цепи по тем же правилам последовательного и параллельного включения, что и для цепей из активных сопротивлений на постоянном токе, т. е. для комплексных сопротивлений без каких-либо изменений можно применять закон Ома и правила Кирхгофа.

В качестве иллюстрации найдём ток в цепи источника переменного тока в контуре, изображённом на рисунке 12.

Для параллельного сопротивления элементов цепи имеем.

Рис. 12.

Разрешив последнее уравнение относительно Ћ, найдём его модуль.

; .