Сложение. 
Аддитивная полугруппа натуральных чисел

Сложение натуральных чисел

Продолжим построение аксиоматической теории натуральных чисел и введем на множестве N операцию сложения.

2.2.1. Определение. Сложением натуральных чисел называется бинарная операция +, определенная на jV, которая удовлетворяет следующим условиям:

A) т +1 =гп для любого meN;

B) т + п = (т + «У для любых m₉n е N.

Первое условие (или аксиома) сложения показывает, как к натуральному числу т прибавить единицу: для этого надо перейти к непосредственно следующему числу т. Второе условие (или вторая аксиома) сложения показывает, как к т прибавить число н', если известна сумма т + n : для этого нужно перейти к непосредственно следующему за т + n числу (т + n)'.

2.2.2. Теорема. Сложение натуральных чисел существует и единственно.

Доказательство. Сначала докажем существование не более одного сложения натуральных чисел. Пусть существует сложение 0, удовлетворяющее аналогичным условиям:

А') тФ 1 = т' для любого meN;

В') т®п= (т0n)' для любых m, neN.

Зафиксируем натуральное число т и индукцией по п докажем, что т + п = тФп для любых ш, л е N. При и = 1 имеем:

(Значки над равенствами указывают на использование соответствующих свойств).

Пусть т + п = т 0п, докажем, что т + п = т Ф п. Имеем:

(«и.п.» над равенством означает использование индуктивного предположения). Итак, доказано, что сложения + и 0 совпадают.

Докажем существование сложения натуральных чисел. Индукцией по т докажем, что для натурального числа т и произвольного натурального числа п существует и притом только одно натуральное число т + п такое, что выполняются условия А) и В). Для т — 1 и произвольного натурального числа п определим 1 + п = п. Проверим выполнимость условий А) и В). Пользуясь данным определением, получаем: 1 + 1 = Г, и для любого п имеем: 1 + л' = (и')' = (1 + п)'. Следовательно, условия А) и В) выполняются.

Пусть для натурального числа т и произвольного натурального числа п существует однозначно определенное натуральное число т + п такое, что выполняются условия А) и В). Для натурального числа т и произвольного натурального числа п определим т + п = (w+ /?)'. Проверим выполнимость условий А) и В) для т+п. Имеем:

(«опр.» означает равенство по определению). Следовательно, условие А) выполняется. Для любого п имеем:

Следовательно, условие В) также выполняется. ?

Пример. Пусть дан натуральный ряд (N, ') с единицей 1. Обозначим Г = 2, 2' = 3, 3' = 4, 4'= 5. Пользуясь определением сложения 2.2.1 и введенными обозначениями, находим:

Найдите аналогично 2+3.

Иронизируя по поводу этого примера, приведем слова М. Клайна из [7]: «…в 90-е годы XIX в., через каких-нибудь шесть тысяч лет (!) после того как египтяне и вавилоняне „пустили в оборот“ целые числа, дроби и иррациональные числа, математики смогли наконец доказать, что 2+2=4».

Доказательство теоремы 2.2.2, отличаясь внешней простотой, содержит некоторые недомолвки. Дело в том, что сложение натуральных чисел представляет собой отображение множества NxN в N, сопоставляющее всякой упорядоченной паре натуральных чисел (т, п) однозначно определенное натуральное число т + п, причем выполняются условия А) и В). В приведенном доказательстве речь идет в неявной форме о существовании и единственности именно этого отображения. Наметим доказательство теоремы 2.2.2 на языке отображений.

Замечаем, что при фиксированном первом слагаемом т отображение NxN в N определяет отображение f_m:N —> N, а условия А) и В) преобразуются в условия.

^ат) /т0) = ^;

ь_т) /_т(л') = (/_т(и)У для любого иеЛГ.

Для доказательства существования не более одного сложения натуральных чисел достаточно установить существование не более одного отображения f_m:N—>N, удовлетворяющего условиям а_т) и Ь_т). Предположим, что существует еще отображение h_m:N—>N,.

удовлетворяющее аналогичным условиям:

С_т) h_m() = m';

d_m) hm (ⁿ) = (Л_да(л)У ДЛЯ ЛЮбОГО nGN.

Индукцией по п легко доказать, что f_m(n) = h_m(n) для любого /?eiV, то есть отображения f_m и h_m совпадают и это доказывает существование не более одного сложения натуральных чисел.

Теперь индукцией по т докажем, что для любого натурального числа т существует, а стало быть, только одно отображение удовлетворяющее условиям а_т) и Ь_т). При т = определим отображение f'.N—>N, положив f (n) = ri дня любого п е N. Легко проверить, что f удовлетворяет условиям а,) и Ь_{).

Пусть существует отображение f_m:N->N, удовлетворяющее условиям а_т) и Ь_т). Определим отображение f_m>:N—>N, положив f_m'(n) = (f_m(n))' для любого neN. Нетрудно доказать, что f_m< удовлетворяет условиям а_т>) и Ь_т>).

Итак, доказано, что для любого т существует и притом только одно отображение f_m:N->N, удовлетворяющее условиям а_т) и Ь_т). Определим отображение множества NxN в N, сопоставляя всякой упорядоченной паре натуральных чисел (т, п) натуральное число /",(/?), которое будем обозначать через т + п. Проверим выполнимость условий А) и В). Имеем:

для любых m, neN. Следовательно, так определенное отображение NxN в N является сложением натуральных чисел.