Собственный вес бруса

Если ось бруса вертикальна, то его собственный вес вызывает центральное растяжение или сжатие. Если вертикальный брус закреплен верхним концом, то от собственного веса он растягивается, а при закреплении нижнего конца — сжимается. Собственный вес вертикального бруса можно рассматривать как продольную (осевую) внешнюю нагрузку, распределенную вдоль оси бруса.

Рассмотрим брус постоянного сечения, закрепленный верхним концом и нагруженный только собственным весом (рис. 2.16, а).

Продольная сила N_x в поперечном сечении х этого бруса (на расстоянии х от его нижнего конца) равна весу нижележащей части бруса, т. е.

где — удельный вес материала бруса;

F — площадь поперечного сечения бруса.

Нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса определяются по формуле.

Эпюры N и у, показывающие изменение продольной силы и нормальных напряжений по длине бруса, изображены на рис. 2.16, б, в.

Рис. 2.16.

Удлинение бруса Дl определяется из выражения.

Умножая числитель и знаменатель последнего выражения на F, и учитывая, что, где G — вес всего бруса, получаем.

Перемещения поперечных сечений брусьев

Определим вертикальное продольное перемещение точка а оси бруса, растянутого силой Р, изображенного на рис. 2.17. Оно равно абсолютной деформации части бруса ad, заключенной между заделкой и сечением, проведенным через точку а, т. е. .

Продольная деформация бруса определяется по формуле: Это формула применима, лишь когда в пределах всего участка длиной l продольные силы N и жесткости EF поперечных сечений бруса постоянны. В рассматриваемом случае на участке ab продольная сила N равна нулю (собственный вес бруса не учитываем), а на участке bc она равна Р; кроме того, площадь поперечного сечения бруса на участке cd. Поэтому продольную деформацию участка ad следует определять как сумму продольных деформаций трех участков ab, bc и cd, для каждого из которых значения N и EF постоянны по всей его длине:

Продольные силы на рассматриваемых участках бруса.

Следовательно,.

Аналогично можно определить перемещения д любых точек оси бруса, а по их значениям построить эпюру продольных перемещений (эпюру д), т. е. график, изображающий изменение этих перемещений по длине оси бруса.

Продольные перемещения точек оси равны продольным перемещениям проходящих через эти точки поперечных сечений бруса.

При продольной нагрузке, распределенной по длине оси бруса, продольная сила N в поперечных сечениях его непрерывно изменяется. В этих случаях, а также в случае, когда жесткость EF бруса переменна по длине его оси, для определения продольной деформации необходимо рассматривать брус, состоящий из бесчисленного множества бесконечно малых участков длиной dl. Продольная деформация каждого такого участка вызывает продольную силу N=G.

Потенциальную энергию деформации бруса найдем по формуле:

или.

Рис. 2.18.

Найдем теперь перемещение поперечного сечения I-I того же бруса (рис. 2.16, г). Это сечение перемещается вниз на величину, равную удлинению верхней части бруса длиной а.

Удлинение участка длиной, а определяем от собственного веса этого участка и веса нижерасположенной части бруса длиной l-a (рис. 2.16, д). Деформацию от веса определяем по формуле (2.15), так как вес является для участка, а внешней силой, а деформацию от веса — по формуле (2.29). При этом в указанные формулы подставляем, а вместо l. Тогда.

Подставляя в выражение (2.32) различные значения а, можно получить величины вертикальных (продольных) перемещений д различных поперечных сечений рассматриваемого бруса и построить по ним эпюру продольных перемещений (эпюру д), изображенную на рис. 2.16, е.