Задачи для самостоятельного решения

Метод моментов

• 12.1. Найти оценку параметра X распределения Пуассона. Проверить ее на несмещенность и эффективность.
• 12.2. Найти оценку параметра а нормального распределения. Проверить ее на несмещенность и эффективность
• 12.3. Найти оценку параметра а² нормального распределения, если: а) математическое ожидание известно; б) математическое ожидание неизвестно. Проверить оценку на несмещенность и эффективность.
• 12.4. Найти оценку параметра 0, где 0=—, р — вероятность успеха

Р

в геометрическом распределении. Проверить ее на несмещенность и эффективность.

12.5. Для показательного распределения найти оценку параметра 0,.

где 0 = —. Проверить ее на несмещенность и эффективность.

X

12.6. Найти оценку параметра 0 для геометрического распределения с вероятностью успеха 0>О. Проверить ее на несмещенность, эффективность. ^ ⁺ ®.

• 12.7. В случае сдвинутого показательного распределения р* (х, 0, р) =
• 1 _

=—е 0, х>р, р> 0 найти оценки 0 и р, опираясь на х и S%.

• 0
• 12.8. Пусть случайная величина ?, равномерно распределена на отрезке [0; 0]. Найти оценку для параметра 0. Исследовать полученную оценку на несмещенность.
• 12.9. Пусть случайная величина Е, равномерно распределена на отрезке [а; Ь]. Найти оценки для а иЬ.
• 12.10. По наблюдениям случайной величины с распределением F^(x) = = хР, 0 < х < 1, оценить параметр (3.
• 12.11. Найти оценку для параметра X распределения Лапласа.
• 12.12. Найти оценку параметра 0 распределения Рэлея рДх) =

X^.

X-;

—е 2о v > 0, л-.- - ;

= < Q ' ' используя: а) 1-и начальный момент; б) 2-и начальный.

0, хО, момент; в) 2-й центральный момент.

Исследовать оценку на несмещенность и эффективность.

Метод максимального правдоподобия

• 12.13. Найти оценку для параметра X распределения Пуассона.
• 12.14. Найти оценку для параметра а нормального распределения.
• 12.15. Найти оценку для параметра ст² нормального распределения при известном математическом ожидании.
• 12.16. Найти оценки параметров, а и а² нормального распределения.

зоз.

• 12.17. Найти оценку для параметра X распределения Лапласа.
• 12.18. Найти оценку для параметра X показательного распределения.
• 12.19. Найти по выборке х_х, х₂, …, х_п точечную оценку параметра р геометрического распределения Р (Е, = к) =р (1 -p)^fc₁, к > 1.
• 12.20. Найти оценку параметра 0 для геометрического распределения с вероятностью успеха р = -—> 0>О.
• 12.22. Функция распределения случайной величины Е, имеет вид

_о^

Ft (х) = е х², х > 0, 9 > 0. Найти оценку параметра 0.

• 12.22. По наблюдениям случайной величины с распределением
• (0, х<1,

Парето вида К (х) = < оценить параметр а.

[1-х~", х>1.

• 12.23. По наблюдениям случайной величины с распределением F^(x) = = хР, 0 < х < 1 оценить параметр (3.
• 12.24. Для показательного распределения с плотностью р?(х, 0, р) =
• 1 _{л л} =—е 0, х > р, 0 > 0, р > 0, найти оценки 0 и р параметров 0 и ц.
• 0
• 12.25. По выборке х_]; х₂, …, х" в случае биномиального распределения P (^ = m) = C$p^mq^N_m при известном N найти оценку параметра р. Совпадает ли эта оценка с оценкой, полученной с помощью метода моментов?
• 12.26. По выборке х_и х₂,…, х" в случае равномерного распределения на отрезке [0; 0] найти оценку параметра 0. Вычислить математическое ожидание полученной оценки и построить несмещенную оценку на ее основе.
• 12.27. По выборке х_1; х₂, …, х" в случае сдвинутого показательного

Гg—Сл^-—0) ^ % > 0^.

распределения, заданного плотностью рДх, 0) = ^ ' ' найти.

^s [0, х < 0,.

оценку параметра 0. Вычислить математическое ожидание полученной оценки и построить несмещенную оценку на ее основе.

Метод моментов и метод максимального правдоподобия.

• 12.28. Срок службы батарейки имеет показательное распределение. Испытания нового вида батареек показали, что новые батарейки служат в среднем 5 ч. Найти методом моментов точечную оценку параметра X показательного распределения. Оценить время t, которое изделие прослужит с вероятностью 0,95.
• 12.29. Случайная величина (затраты времени на дорогу поселкового жителя, работающего в городе) имеет распределение Парето вида

где х₀ = 1 ч. Работающий житель поселка тратит каждый день на дорогу не менее 1 ч. Выборочное обследование показало величину 2 ч. Оценить параметр, а методом моментов. Определить долю работающих в городе жителей поселков, которые тратят на дорогу свыше 5 ч.

12.30. Кредитный отдел банка провел анализ благонадежности заемщиков банка. Измерения показали, что по 10 отделениям банка добросовестные заемщики составляют 96%, 91%, 90%, 85%, 88%, 90%, 89%, 95%, 92%, 84% от числа всех клиентов-заемщиков. Доля возвратов по кредитам в банке в установленное время имеет распределение.

Методом моментов (ММ) оценить параметр (3 и вероятность того, что доля возвратов опустится ниже 80%. Сравнить с результатом, полученным методом максимального правдоподобия (ММП).

12.31. Случайная величина (затраты времени на дорогу городского жителя) имеет распределение Парето вида.

где х₀ = 0,5 ч. Горожанин тратит каждый день на дорогу не менее 0,5 ч. Было опрошено случайным образом 10 человек, которые указали следующее время: 0,71; 0,78; 0,54; 0,53; 0,92; 0,6; 0,59; 0,79; 0,54; 0,56 ч. Оценить параметр а методом максимального правдоподобия (ММП). Вычислить долю тех, кто тратит на дорогу больше 1 ч, на основе оценки максимального правдоподобия. Сравнить с результатом, полученным методом моментов (ММ).

12.32. В соревнованиях по стендовой стрельбе из гладкоствольных ружей по специальным мишеням-тарелочкам мишень запускается с вышки на разной высоте, под разными углами, с различной скоростью, о чем стрелок заранее не может знать. Спортсмен в течение пяти выстрелов фиксировал момент своего выстрела после запуска мишени, казавшийся ему наиболее удобным: 4,8; 1,2; 9,2; 5,1; 3,7 с. Время полета мишени имеет равномерное распределение с параметром времени 0 мин. Оценить параметр 0 методом максимального правдоподобия (ММП). Определить несмещенную оценку. Сравнить с результатом, полученным методом моментов (ММ).

Байесовский метод.

12.33. Доля возвратов по кредитам в банке имеет распределение F^(xr) = хР, 0 < х < 1. Собранная информация позволяет считать, что параметр 3 е (0; 8) и, вероятно, равномерно распределен. Наблюдения показали, что по трем отделениям банка доля возвратов составляет (в %) 77, 80, 81. Применяя байесовский метод, получить оценку р_Б

параметра (3. Сравнить результат с оценкой (З_ммп, полученной методом максимального правдоподобия, и априорной оценкой (3_А.

• 12.34. Пассажир пришел в случайный момент времени на автобусную остановку (распределение времени прихода пассажиров на остановку равномерное). Известно, что автобус ходит с интервалами по 9 мин. Собранная информация позволяет считать, что параметр 0 е (5; 15). Другой пассажир, стоящий на остановке, сообщил, что в прошлый раз ему пришлось ждать автобуса 7 мин. Применяя байесовский подход, оценить параметр 0. Сравнить результат с оценкой (З_ммп, полученной методом максимального правдоподобия, и априорной оценкой (3_А.
• 12.35. Найти с помощью метода Байеса оценку для параметра л распределения Лапласа, если известно, что X е (0; 5) и имеется короткий ряд наблюдений {0,25; -0,28; -0,23; 0,24}. Сравнить результат с оценкой р_ммп, полученной методом максимального правдоподобия, и априорной оценкой Р_А.
• 12.36. Длительность жизни работающего устройства характеризуется экспоненциальным законом распределения с параметром 0. Собранная информация позволяет считать, что параметр 0 е (0; 1) и, вероятно, равномерно распределен. Срок работы трех устройств составил 1,8, 2,0, 2,2 года. Применяя байесовский подход, оценить параметр 0. Сравнить результат с оценкой |3_ММП, полученной методом максимального правдоподобия и априорной оценкой (3_А.
• 12.37. Случайная величина Е, распределена нормально с математическим ожиданием 0 и дисперсией а². Собранная о величине 0 информация позволяет предположить, что она ведет себя как нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 0_О и известной дисперсией =1. Имеются результаты п наблюдений случайной величины Построить байесовскую оценку параметра 0.

Достаточные статистики.

• 12.38. Найти достаточную статистику Т (х) для оценки параметра X в показательном распределении.
• 12.39. Найти достаточную статистику Т (х) для оценки параметра р в геометрическом распределении
• 12.40. Найти достаточную статистику Т (х) для оценки параметра X в распределении Лапласа.
• 12.41. Найти достаточную статистику Т (х) для оценки параметра а² в нормальном распределении с известным математическим ожиданием.
• 12.42. Найти достаточную статистику Т (х) для оценки параметров а и а² в нормальном распределении.
• 12.43. Функция распределения случайной величины % имеет вид

_jy.

F^(x) = e х², х > 0, 0 > 0. Найти достаточную статистику Т (х) для оценки параметра 0.

• 12.44. По наблюдениям случайной величины с распределением F^(x) = = хР, 0 < х < 1, найти достаточную статистику Г (х) для оценки параметра (3.
• 12.45. По выборке х_1} х₂, …, х" в случае равномерного распределения на отрезке [0, 0] найти достаточную статистику Т (х) для оценки параметра 0.
• 12.46. Для показательного распределения с плотностью рДх, 0, р) =
• 1 _?zE

=—е, х > р, 0 > 0, р > О, найти достаточную статистику Г (х) для.

оценки параметров 0 и р.