Сложение произвольных десятичных дробей

Распространим операции сложения и умножения конечных десятичных дробей на вес множество десятичных дробей S. Для этого введем одно важное понятие.

• 5.2.8. Определение. Последовательностью стягивающихся отрезков из S назовем такую последовательность вложенных отрезков ([<*",/?"]), концы которых а_п и fi_n являются конечными десятичными дробями, и для любого натурального числа т существует номер к такой, что для всех п>к выполняется неравенство Р_п—а"<�ОГ^т (то есть при возрастании п длины отрезков бесконечно убывают).
• 5.2.9. Лемма. Для любой последовательности стягивающихся

отрезков (["",/?"]) существует ипритом только одна десятичная дробь, которая принадлежит всем отрезкам этой

последовательности.

Доказательство. По аксиоме Кантора (5.2.4), существует десятичная дробь принадлежащая всем отрезкам данной последовательности. Пусть десятичная дробь S также принадлежит всем отрезкам этой последовательности и у * S. Для определенности положим у<�д. По свойству усиленной плотности (5.2.6), существуют конечные десятичные дроби Л и р такие, что у <�Л<�р<6. Тогда для любого п получаем а_п<�у<�Л<�р<5<�Р_п, откуда 0<�р-Л<�Д_п-а_п (напомним, что по определению 5.2.8, а_п и Д, являются конечными десятичными дробями, так что разность Д, — а_п

определена). По определению 5.2.8, для любого натурального числа т существует номер к такой, что для всех п>к выполняется неравенство Д, -а"< 10~^т, откуда 0 < // - Л < 10~^т

и 0< 10'" (//-Я)<1, что противоречит аксиоме Архимеда для конечных десятичных дробей. Следовательно, у — единственная десятичная дробь, принадлежащая всем отрезкам данной последовательности. ?

5.2.10. Определение. Пусть дана десятичная дробь а = д₀, я, л₂…

Для любого /7 = ОД,… конечные десятичные дроби а_п =ci_i)4a_x.a,_l и а'_п =а₀, а_].а" +10″^л называются.

приближенными значениями данной десятичной дроби а.

Всюду в дальнейшем приближенные значения десятичной дроби будем обозначать гой же буквой, что и саму дробь, только с индексом внизу. Например, приближенные значения десятичной дроби р будем обозначать через Д, и Д', дроби у — через и у'_п, и гак далее.

5.2.11. Предложение. Десятичная дробь, а является единственным элементом, принадлежащим всем отрезкам последовательност и ([а_п, а' ]).

Доказательство. Очевидно, является последовательностью вложенных отрезков, и для любого п имеем: а_п<�а< а'_и, то есть а принадлежит всем отрезкам этой последовательности. В то же время, а'"-а"= КГ" для любого п, откуда следует, что это последовательность стягивающихся отрезков, и по лемме 5.2.9, а является единственным общим элементом всех отрезков этой последовательности. ?

Пусть а и р — конечные десятичные дроби. Для любого п имеем: а" < а < а'_п и Д, < р < Д', откуда а"+Р_п<�а + Р< а_п + Д,. Т аким образом, дробь у = а + р принадлежит всем отрезкам последовательности ([<а_п + р_п, а'_п + р'_п). Это наталкивает на мысль и в случае произвольных десятичных дробей а и Д их суммой а + р назвать ту десятичную дробь, которая принадлежит всем отрезкам последовательности {[а_п + Р_п/х'_п +Д']). Но прежде нужно доказать существование и единственность такой десятичной дроби.

5.2.12. Предложение. Для любых десятичных дробей, а и Д существует ипритом только одна десятичная дробь у, принадлежащая всем отрезкам

последовательности ([а_п + fi_n9a'" + PI,]) —

Доказательство. Для любого г? = 0,1,… имеем: а" < а"₊₁ < а,',_+| < а'" и Д, < Д,_+| < Д₊₁ < Д, откуда.

«» +Д, — «л+1 + Д, и ^ <�С 1 + Д',₊1 S а,', + Д, • Следовательно,.

([а" + Рп&'п + Д',]) является последовательностью вложенных отрезков. В то же время, (а'" + /?)-(«» + Д,)="-««) + (#-Д,)=Ю» «+10» «, откуда следует, что рассматриваемая последовательность является последовательностью стягивающихся отрезков, и по лемме 5.2.9, существует и единственная десятичная дробь у, которая принадлежит всем отрезкам этой последовательности. ?

Доказанное предложение позволяет дать следующее определение сложения произвольных десятичных дробей.

5.2.13. Определение. Суммой произвольных десятичных дробей а и р назовем ту единственную десятичную дробь /, которая принадлежит всем отрезкам последовательности ([<�зг_л+Д,<�зг',.

При этом, будем писать: а+/3 = у. Отображение SxS—"S, сопоставляющее всякой упорядоченной паре (ог, Д) десятичную дробь у = а + р, называется сложением десятичных дробей.

Основные свойства сложения десятичных дробей Покажем, что так определенное сложение + на множестве S обладает всеми свойствами, которыми должно обладать сложение действительных чисел в соответствии с определением 5.1.4.

Коммутативность сложения непосредственно вытекает из определения этой операции и из коммутативности сложения конечных десятичных дробей.

5.2.14. Предложение. Сложение десятичных дробей слабо монотонно, т. е. для любых а, р, у &S, если а<�р, то, а + у<�р+у.

Доказательство. Из условия а < р следует, что а_п < р_п для любого п, откуда, по свойству слабой монотонности сложения конечных десятичных дробей, а"+у"йр_п+у" для любого п. По определению сложения, Р_п+у_п<�р + у, и если предположить, что Р + у<�а + у, то получим а_п +у" < Д, +у_п <�р + у<�а + у<�а'_п +у'_п для любого п, то есть р + у и а + у являются различными десятичными дробями, принадлежащими всем отрезкам последовательности ([а" + у",а'_п + /' ]). Но это противоречит утверждению 5.2.12. Таким образом, а + у < р + у. ?

Пользуясь доказанным свойством слабой монотонности сложения, нетрудно доказать, что нестрогие неравенства одинакового смысла можно почленно складывать, то есть если а< р и y то а + у< р + д для любых a, p, y, S eS.

5.2.15. Предложение. Сложение десятичных дробей ассоциативно.

Доказательство. Пусть а, Д, у — произвольные десятичные дроби. Для любого номера п имеем: а_п<�а < а'_п, Д, < Д < Р'_п, у_п < у < у'_п, откуда, по свойству слабой монотонности сложения, «„+Д.+Г“ <(а+Р)+у<�а'_п +%+/», а" +Д, +у" <�а+(Р+у)<�а'" +/?"+/". Таким образом, дроби (а + Р) + у и а + {р + у) принадлежат всем отрезкам последовательности ([а_п + р" + у"/х'_п + р_х + у'"]), которая является последовательностью стягивающихся отрезков, так как. а_х + Д' + у_х —(а_п + Р_п + у") = 3−10^_/' для любого п. Следовательно, по лемме 5.2.9, дроби (а + Р) + у и а + (Р + у) совпадают. ?

5.2.16. Предложение. Для любой десятичной дроби, а существует противоположная десятичная дробь — а.

Доказательство. Легко видеть, что последовательность ([-а'_л—а_1Х]) является последовательностью вложенных отрезков, и по аксиоме Кантора существует десятичная дробь Д, принадлежащая всем отрезкам этой последовательности, то есть -а_х<�Р<-а,_х для любого п. Так как а,_х <�а<�а,_х для любого //, то, по свойству слабой монотонности сложения, а_п — а' < а + Д < а!_п — а_/х для любого п. Но, очевидно, а" - а'" < 0 < а'_п — а_п, следовательно, а + Д и О принадлежать всем отрезкам последовательности ([а_п -а" а'_п -<*"]), которая является последовательностью стягивающихся отрезков, так как. а'_п-а,_х-(а_п-а'_п) = 2−10″". Таким образом, по лемме 5.2.9, а + Д = 0, то есть р = -а. ?

5.2.17. Предложение. Сложение десятичных дробей монотонно, то есть для любых a, p, yeS, если, а < Д, то а + у < Р+у.

Доказательство. По свойству слабой монотонности сложения, неравенство а < Д влечет а + у < р+у. Предположим, что а + у = Р + у. По 5.2.16, существует дробь -у. Прибавив ее к обеим частям последнего равенства, получим, а = Д, что противоречит условию. Следовательно, а + у < р + у. ?

5.2.18. Теорема. Для десятичных дробей справедлива аксиома Архимеда: для любых десятичных дробей, а >0 up существует натуральное число п такое, что па > Д.

Доказательство. По условию, а > О, поэтому найдется номер к такой, что а_к >0. По аксиоме Архимеда для рациональных чисел, существует натуральное число п такое, что па_к >. Но тогда, используя монотонность сложения, получаем: па > па_к > > р. ?