Доказательство. 
Проследив доказательство теоремы

5.3.5, убеждаемся, что в нем, говоря о действительных числах, мы нигде не использовали аксиому Кантора, работала лишь аксиома Архимеда. Таким образом, на самом деле доказано более общее утверждение: если в упорядоченном поле выполняется аксиома Архимеда, то всякий его элемент однозначно представим в виде некоторой десятичной дроби.

Предположим теперь, что произвольный элемент b упорядоченного поля (Р, +,-,<) представим в виде десятичной дроби b₀, b^b₂…. Тогда b_Q + >b. По аксиоме Архимеда для целых чисел, существует натуральное число п такое, что n>b₀+1. Тогда п>Ь, что, по 5.1.5, эквивалентно аксиоме Архимеда. ?

5.3.7. Теорема. Всякая десятичная дробь является представлением единственного действительного числа.

Доказательство. Пусть дана десятичная дробь а$, а_{а₂…

Для любого л = 0,1,… обозначим А" =а_а + —+…+ ——, А=Л+—!—.

" ⁰ 10 10″ 10″ .

Очевидно, последовательность ([Л", Л']) является последовательностью стягивающихся отрезков, и, по 5.3.2, существует и притом только одно действительное число а, принадлежащее всем отрезкам этой последовательности, то есть для любого п выполняются неравенства А_п <�а< А',.

Предположим, что а = А'_/п для некоторого номера т. Тогда d'_m+k-i⁼4"+k яяя любого к = 1,2,…, то есть.

⁺ ' ^0ТКУ^{да 9}— Таким образом, получаем «хвост» из девяток, что противоречит определению десятичной дроби. Следовательно, А_п<�а<�А'_п для любого п. В соответствии с определением 4.4.4 это означает, что число а представимо в виде данной десятичной дроби а₀, а_ха₂… ?

Проследив доказательство теоремы 5.3.7, замечаем, что на самом деле доказано следующая более общая теорема.

5.3.8. Теорема. Если в упорядоченном поле для всякой последовательности стягивающихся отрезков существует и притом только один элемент, принадлежащий всем отрезкам

последовательности, то всякая десятичная дробь является представлением единственного элемента этого упорядоченного поля.

Теоремы 5.3.5 и 5.3.7 устанавливают взаимно однозначное отображение множества всех действительных чисел R на множество всех десятичных дробей S, которое, как будет установлено в дальнейшем, является изоморфизмом упорядоченного поля действительных чисел на упорядоченное поле десятичных дробей.

Связь между отношениями линейного порядка на множествах R S

5.3.9. Предложение. Если действительные числа, а и b представимы в виде десятичных дробей соответственно аир, то, а <�Ь тогда и только тогда, когда, а <�р.

Доказательство. (=>) Докажем, что если а <�р, то а < b. Предположим противное, пусть а<�Р, но Ь<�а. Если а =а₀, а_{а₂…, р = Ь₀, ЬЬ₂…< то из условия а< р следует существование номера к такого, что а_к < Ь_к, а для всех номеров i < к имеет место равенство а, =/>,. Но тогда а_к+1 <Ь_к, откуда А_к < В_к и В_к <�Ь<�а < А_к < В_к — противоречие. Следовательно, из а < р следует а < b.

(<=) Предположим а <�Ь. Поскольку всякая десятичная дробь являегся представлением не более одного действительного числа, то а* Р. Если предположить, что р < а, то, но доказанному, b < а, что, но условию не так. Следовательно, <*</?.?

Заметим, что на самом деле доказана следующая более общая теорема.

5.3.10. Теорема. Пусть всякая десятичная дробь является представлением не более одного элемента упорядоченного поля (Р, +, •, <). Если элементы, а и b из Р представимы в виде десятичных дробей соответственно, а и Р, то, а <�Ь тогда и только тогда, когда, а < р.

Охарактеризуем систему действительных чисел с помощью понятия представимости элемента упорядоченного поля десятичной дробью.

5.3.11. Теорема. Упорядоченное поле является системой действительных чисел тогда и только тогда, когда всякий его элемент однозначно представим в виде некоторой десятичной дроби и всякая десятичная дробь является представлением единственного элемента этого упорядоченного поля.

Доказательство. (=>) Из 5.3.5 и 5.3.7 вытекает, что система действительных чисел обладает указанными в теореме свойствами.

(<=) Предположим теперь, что всякий элемент упорядоченного поля (Р, +,-,<) представим в виде некоторой десятичной дроби и всякая десятичная дробь является представлением единственного элемента из Р. По 5.3.6, в данном упорядоченном поле выполняется аксиома Архимеда. Далее, по 5.3.10, если элементы а и b из Р представимы в виде десятичных дробей соответственно а и /?, то а<�Ь тогда и только тогда, когда а<�р. Отсюда следует, что выполнимость аксиомы Кантора для десятичных дробей (см. 5.2.4) влечет выполнимость ее для данного упорядоченного поля. Следовательно, (Р, +,-,<) является системой действительных чисел. ?

Другая трактовка понятия представимости действительного числа десятичной дробью Напомним определения необходимых понятий.

5.3.12. Определение. Действительное число а называется пределом последовательности действительных чисел (у_п), если для любого действительного числа е > 0 существует номер к такой, что для всех номеров п>к выполняется неравенство |а-у_п | Записывается: lim у_п=а. При этом говорят, что последовательность л-к (c)

• (у_п) сходится к числу а.
• 5.3.13. Определение. Пусть дана последовательность

действительных чисел *₀, ЛГ|, *2, ••• Выражение вида .v₀ +дг, + х₂ +… называется рядом. Для любого п = 0,1,2,… число =*₀+я,+…+*".

называется частичной суммой этого ряда. Если существует lim у_п= а, то а называется суммой данного ряда. При этом пишут:

и-ко.

а = л;₀ +х_] +х₂ + …

5.3.14. Предложение. Действительное число, а представимо в виде десятичной дроби а$, а_ха₂-.- тогда и только тогда, когда а, а₂

а — аг 4- —I—г- 4-…

° Ю Ю²

Доказательство. (=>) Пусть действительное число а представимо в виде десятичной дроби а^_уа_ха₂… По 4.4.4, это означает, что для любого номера п выполняются неравенства.

Л_п <�а<�А'_п. Т огда аА_п= аА_п < А', -А_п=. Отсюда следует, что lim А_п=а. Очевидно, приближенные значения А_п являются.

/I—>аС частичными суммами ряда я_п+ — + —?г + …. Следовательно, а есть.

10 Ю²

а, а₂

сумма этого ряда: а = а₀ 4- + -ру +…

(<=) Предположим теперь, что дана десятичная дробь а_0уа_ха₂…

и а = 4- — 4- + … Докажем, что число а представимо в виде этой.

10 Ю²

десятичной дроби. По 5.3.7, существует, и притом только одно, действительное число b, которое представимо в виде данной десятичной дроби а_0уа_{а₂…" а по доказанному, b есть сумма ряда:

Ь = а_л 4- — 4* 4-… Из единственности суммы ряда вытекает, что а = о.

• 10 Ю²
• ?

Характеризации рационального числа через его представление в виде десятичной дроби.

5.3.15. Теорема. Действительное число, а является рациональным тогда и только тогда, когда оно представимо в виде периодической десятичной дроби.

Доказательство. По 4.4.6, рациональное число представимо в виде периодической десятичной дроби.

Обратно, пусть действительное число а представимо в виде периодической десятичной дроби а, докажем, что а - рациональное число. Рассмотрим типичный пример. Пусть а = 23,56(375). Передвинем запятую вправо до периода, для чего обе части равенства умножим на 10². Получим 10²а=2356,(375). Теперь передвинем запятую вправо на один период, для чего равенство умножим на 10³. Получим 10³ -10²а =235 6376(375). Из последнего равенства вычтем предпоследнее: 10 -10 а-10 а = 2 356 375. Окончательно получаем:

Следовательно, а — рациональное число, равное найденному отношению. Замечаем, что числитель полученной дроби представляет собой разность между числом, записанным цифрами, стоящими до второго периода, и числом, записанным цифрами, стоящими до первого периода, а знаменатель записывается сначала девятками в количестве, равном числу цифр в периоде, а затем нулями в количестве, равном числу цифр от запятой до первого периода.

Теперь не представляет труда провести те же рассуждения в общем виде. Если ограничиться положительными числами, то получаем: а = а__па_(_П__Ху. а_{), а_ха₂. а_т (а_т+а_т+2 • • а_т+*),.

где a__na_(_n_iy.a₀ — десятичная запись целой части данной десятичной дроби а. Выполняя преобразования по той же схеме как и в примере, в итоге получим:

Упражнения.

• 1. Приведите пример последовательности стягивающихся отрезков и укажите число, принадлежащее всем отрезкам последовательности.
• 2. Найдите целую часть каждого из чисел: 5; 0; 0,25; ^; -1; - 2 ^; - 2; 1- 2 .
• 3. Найдите четыре знака после запятой в представлении десятичной дробью каждого из чисел: ³ 23; 1 — 3; - п.
• 4. Запишите в виде отношения целых чисел рациональные числа,

представленные в виде следующих десятичных дробей: 0,(23); 0,0(31);

• 2,05(456); 3,128(45); -28,2(32).
• 5. Всегда ли сумма, разность, произведение, частное двух периодических десятичных дробей снова будут периодическими десятичными дробями?
• 6. Пределом какой последовательности рациональных чисел является число 2 ?
• 7. Опишите способ перехода от периодической десятичной дроби к обыкновенной с использованием формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии.
• 8. Укажите последовательность рациональных чисел, пределом которой является число е.