Ограниченные и неограниченные последовательности

Поскольку последовательности являются числовыми множествами, естественно ввести понятие их ограниченности, как это было сделано для множеств в п. 6.2.3.

Определение 2. Последовательность {х_я} называется ограниченной сверху (снизу), если существует число А/ (число /и), такое, что любой элемент х_я этой последовательности удовлетворяет неравенству х_п й А/ (х_я? /и).

Определение 3. Последовательность {х_я} называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.с. существуют числа т и А/, такие, что любой элемент {х_я} этой последовательности удовлетворяет неравенствам т < х_п < А/.

Пусть А = max {|/и|, |А/|}. Тогда условие ограниченности последовательности можно записать в форме |х_я| < А.

Определение 4. Последовательность {х_я} называется неограниченной, если для любого положительного числа А существует элемент х_я этой последовательности, удовлетворяющий неравенству |х_я| > А, (т.е. либо х_я > А, либо х_я < -А).

Из определений 2—4 следует, что все элементы ограниченной сверху последовательности принадлежат промежутку (-(c)о, М) а все элементы ограниченной снизу последовательности — промежутку (т, +<�"). Неограниченная последовательность может быть ограничена сверху (снизу). Все элементы ограниченной последовательности принадлежат отрезку [т, А/|.

Рассмотрим несколько примеров последовательностей:

• 1) последовательностьI, -2, -3, …, -л,… ограничена сверху, но не ограничена снизу;
• 2) последовательность I, ½, 1/3, … I/л,. ограничена, так как любой элемент х_я этой последовательности удовлетворяет неравенствам 0 < х_я < I;
• 3) последовательностьI, 2, -3, …, (-1)" л, … неограниченная.

Действительно, каково бы ни было число А > 0, среди элементов х_п этой последовательности найдутся элементы, для которых будет выполняться неравенство |х_я| > А.