Задача дисконтирования. 
Математика в экономике

При определении экономической эффективности капитальных вложений встречаются так называемые задачи дисконтирования', определение начальной суммы S через время / по конечной величине S_t при процентной ставке р.

Как было рассмотрено ранее (п. 7.3.3), при непрерывном начислении процентов конечная сумма вычисляется по формуле S_t = Se", где г = 0,01 р. Если сумма S_t также является функцией времени/(/), то дисконтированная сумма к моменту времени / составит S = /(/) e~^rt. Полная дисконтированная сумма за промежуток времени / вычисляется по формуле.

Определим дисконтированную сумму S_d при /(/) = S_Q (1 + к/), где S_Q — начальные капиталовложения, к — ежегодная доля их увеличения. Иными словами, при заданных величинах р и А: требуется оценить, что выгоднее: наращивать капиталовложения или вложить их одновременно при непрерывно начисляемой процентной ставке.

Решение. Вычисляя указанный интеграл методом интегрирования по частям, получаем:

Из полученной формулы можно сделать некоторые выводы.

• 1. Чем выше процентная ставка р (а значит, и г), тем меньше дисконтная сумма S_d и, следовательно, выше доход, вычисляемый как разность между суммой ежегодно растущих капиталовложений за / лет и величиной S_d. Если рассматривать S_d как дисконтный доход, то увеличение процентной ставки р снижает рентабельность помещения капитала.
• 2. Увеличение интенсивности ежегодных капиталовложений (к) приводит к увеличению S_d.
• 3. При неизменных р и к дисконтный доход растет с увеличением промежутка времени / (количества лет). Например, при процентной ставке р = 5% (г = 0,05) и ежегодном увеличении капиталовложений на 5% (к = 0,05) получаем, что за пять лет дисконтная сумма S_d * 55₀, в то время как сумма ежегодных капиталовложений за этот период времени составит S_a = 6,255₀; при к = 0.1 (10%-ное увеличение ежегодных капиталовложений) и тех же самых р и / соответственно имеем S_d * 5,55^ и S_a = 6,5?₀, т. е. в первом случае разность S_a — S_d * 1,255*₀, тогда как во втором случае она снижается до ~ S_d.

При аналогичных оценочных расчетах в реальных условиях следует учитывать существенную роль темпа инфляции, который в первую очередь определяет приемлемую величину промежутка времени /. Очевидно, что при высоком уровне инфляции выгодны только краткосрочные капиталовложения.