Уравнение Шредингера. 
Электромагнетизм, оптика, квантовая физика

Основным законом в квантовой механике является уравнение для волновой функции гр = xp (t, г)

В 1926 г. австрийский физик Эрвин Шредингер, развивая идеи де Бройля о волновых свойствах потоков частиц вещества, первым записал это уравнение (Нобелевская премия 1933 г.). Уравнение Шредингера имеет в квантовой механике такое же фундаментальное значение, какое имеет второй закон Ньютона в классической механике.

С учетом строения оператора Гамильтона (19.24) уравнение Шредингера можно преобразовать к виду.

Это есть дифференциальное уравнение в частных производных. Для того чтобы среди множества различных решений уравнения Шредингера найти единственное ф = ^>(<, г), необходимо выделить его при помощи какого-либо дополнительного условия. В качестве такого условия обычно выбирают начальное условие.

где ф₀(г) — известная функция. Это условие задает зависимость ф от г при t = 0. Кроме этого, волновая функция в любой момент времени должна удовлетворять условию нормировки (19.17). Зная функцию Фо (г)_} определяющую состояние частицы в начальный момент времени t = 0, из уравнения Шредингера можно найти функцию ф = ф (Ь, г), описывающую состояние частицы в любой другой, более поздний момент времени t > 0.

Рассмотрим, как можно получить уравнение Шредингера из предположения, что волна де Бройля (19.5) является решением этого уравнения. Волна де Бройля (19.5) описывает поток свободно летящих частиц, каждая из которых имеет энергию Е и импульс р. Аргументами волновой функции ф в данном случае служат время t и координата х. При этом энергию Е и импульс р частицы следует рассматривать как параметры. Естественно предположить, что волна де Бройля есть частное решение некоторого уравнения, которое выражает общий закон, определяющий движение частиц в рамках квантовой механики. В таком случае это уравнение не должно содержать в себе параметров, характеризующих какой-то один вид движения частицы. Исходя из этого предположения, найдем дифференциальное уравнение, частным решением которого является волна де Бройля (19.4), или (19.5). При этом будем иметь в виду, что энергия свободной частицы Е и ее импульс р связаны соотношением.

Найдем первую производную от функции (19.4) по t и вторую по х:

При помощи формул де Бройля (19.3) эти равенства можно записать так:

Из этих равенств нетрудно исключить параметры Е и р. Правые части этих равенств совпадают в силу соотношения (19.31). Следовательно, должны быть равны их левые части. Таким образом, приходим к уравнению В общем случае волновая функция свободной частицы может зависеть от всех координат: х, у и z. Очевидно, что в этом случае она должна удовлетворять уравнению.

которое с учетом обозначения (19.21) оператора Т кинетической энергии можно записать так:

Это уравнение для свободной частицы нетрудно обобщить на случай, когда частица движется в консервативном силовом поле. В этом случае ее полная энергия будет равна сумме кинетической и потенциальной энергий. Полной энергии частицы в квантовой механике соответствует оператор Я. определяемый формулой (19.23). Таким образом, более общее уравнение для волновой функции получим, если заменим в уравнении (19.34) оператор кинетической энергии Т на оператор полной энергии Я. В результате придем к уравнению Шредингера (19.29). Строго говоря, приведенные преобразования не являются выводом уравнения Шредингера, но они помогают понять его происхождение и физическое содержание.