Расчет показателей текущего запаса

Для расчета показателей текущего запаса по статистическим данным в настоящее время наибольшее распространение получили две формулы:

где ?, — интервал между двумя смежными поставками, дн.; Q, — величина i-й поставки, ед.; N — количество поставок за рассматриваемый период.

Отличие формул (3.4) и (3.5) состоит в том, что зависимость (3.5) включает две переменные, т. е. отражает связь между величинами поставок Q, и интервалами их поставок t_r

Из формул (3.4), (3.5) следует, что речь идет о средней величине текущего запаса, выраженной в днях. Для перехода к натуральным показателям используется формула (3.3).

Расчет показателей страхового запаса.

Для расчета показателей страхового запаса помимо стандартной формулы для среднего квадратического отклонения.

также используется следующая зависимость:

где Г_т1, Г_т2 — средние значения, рассчитанные по формулам (3.4) и (3.5) соответственно; а — коэффициент, учитывающий надежность обеспечения запасом.

Кроме того, в некоторых работах используется комбинированный вариант формул (3.6) и (3.7):

Ряд авторов считает, что формулы (3.6) и (3.7) не отражают особенностей расчета страхового запаса и предлагают использовать в расчете только «опоздавшие» партии.

млн.

где t: — величина интервала, большая или равная среднему значению Т,., дн.; М — количество значений tj в общем объеме данных N (количество «опоздавших» поставок).

Переход к натуральным показателям страхового запаса производится так же, как и при расчетах текущего запаса, т. е. домножением на среднесуточный расход D.

Коэффициент а, входящий в расчетные формулы (3.6)—(3.10), отражает вероятностный характер страхового запаса. Следует указать, что данный коэффициент представлен в формулах табл. 3.2. Например, в работах К. В. Инютиной он обозначен как у, в работах Н. Д. Фасоляка — как k, но отражает одну и ту же зависимость — вероятность возникновения ситуации дефицита Р (х).

? Научная дискуссия.

В большинстве работ по логистике и управлению цепями поставок считается, что случайные величины ?,? и Q, подчиняются нормальному закону распределения. Для нормального закона распределения (так же как и для ряда других законов) составлены специальные таблицы (см. приложение 1), позволяющие на основании параметра определить соответствующую вероятность Р (х").

Напомним, что вероятность наличия дефицита Р (х) и вероятность отсутствия дефицита F (x) связаны зависимостью.

где F (x) — интегральная функция нормального закона распределения.

Таким образом, для расчета величины страхового запаса необходимо задать вероятность F (x) или Р (х), по таблице приложения 1 определить величину х_р и рассчитать величину страхового запаса по одной из формул (3.6)—(3.10), подставив а-х_р.

Если распределение случайных величин спроса и интервалов поставок будут отличаться от нормального закона, то для расчета страхового запаса необходимо использовать параметры других законов распределения. Повторим еще раз, что в большинстве работ по логистике говорится, что случайные величины размера и интервала поставки подчиняются нормальному закону. Важность учета закона распределения проиллюстрируем примером.

Пример. Рассмотрим простую ситуацию, когда процесс расхода характеризуется одной случайной величиной — размером ежедневных продаж. Исходные данные о продажах приведены в табл. 3.4¹. Определим показатели, характеризующие величину товарного запаса, при условии, что вероятность отсутствия дефицита F (x) = 0,9.

Таблица 3.4

Исходные данные и вспомогательные расчеты для определения величины товарного запаса

Из анализа данных табл. 3.4 следует, что для расчета могут быть использованы зависимости для среднего значения (3.4) и для среднего квадратического отклонения (3.6) ежедневных продаж.

Рассмотрим три варианта закона распределения случайной величины ежедневных продаж. Допустим, что ежедневный размер продаж подчиняется нормальному закону распределения. В этом случае товарный запас рассчитывается по формуле.

где d, o_fJ — среднее значение и среднее квадратическое отклонение ежедневных продаж соответственно.

Определим статистические параметры ежедневных продаж:

• средний размер продаж.

1 Исходные данные примера взяты из работы: Григорьев М. Я., Долгов А. П., Уваров С. А. Управление запасами в логистике: методы, модели, информационные технологии: учеб, пособие. СПб.: Бизнес-пресса, 2006.

При расчете среднего квадратического отклонения величина выборки уменьшена на единицу, как это и рекомендуется сделать в работах по математической статистике при N < 25.

Вероятность отсутствия дефицита F (x_p) = 0,9 означает, что в среднем за десять дней продаж возможно возникновение ситуации дефицита только один раз. По таблице приложения 1 находим х_р = 0,9 = 1,28. Следовательно, величина товарного запаса с учетом выбранной вероятности отсутствия дефицита равна.

Сопоставление величины товарного запаса с данными табл. 3.4 показывает, что только однажды размер продаж превышает расчетную величину <2_Т, что удовлетворительно согласуется с вероятностью возможного возникновения дефицита Р (х_р) = 0,1.

Поскольку рассматриваемая выборка является малой, для повышения достоверности полученной оценки товарного запаса необходимо увеличить объем выборки. Помимо этого следует провести расчеты для других законов распределения, чтобы определить границы отклонений величины ежедневного товарного запаса.

Для выбора закона распределения определим коэффициент вариации дневных продаж:

Учитывая, что для распределения Рэлея коэффициент вариации v = = 0,52, выберем данное распределение для расчета товарного запаса. В качестве второго альтернативного варианта примем, что случайные величины дневных продаж подчиняются равномерному распределению (называемому также законом равной вероятности).

Вначале выполним расчеты для закона Рэлея, функция распределения которого записывается в виде.

где а_к — параметр распределения.

Известно, что для распределения Рэлея справедливы следующие соотношения:

• для математического ожидания (или среднего значения).

Подставив в формулы (3.15) и (3.16) значения d = 39 ед. и а₍₁ = 20 ед., находим:

Выберем для дальнейших расчетов среднее значение 30,8. Преобразуем формулу (3.14) для расчета товарного запаса:

Подставив значения a_!t = 30,8 и F (x) = 0,9, получим.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

где а, b — параметры равномерного распределения (рис. 3.3).

Рассчитаем товарный запас при условии равномерного распределения ежедневных продаж. Функция равномерного распределения записывается в виде

Рис. 3.3. Плотность (а) и функция распределения (б) закона равномерной.

вероятности

При равномерном распределении случайные величины распределены с постоянной плотностью в интервале значений от а — Ь до а + вне этого интервала плотность равномерного распределения f (x) = 0.

Для определения параметров а и b воспользуемся тем, что для равномерного распределения математическое ожидание (среднее значение).

а среднее квадратичное отклонение.

По формулам (3.19), (3.20) определим параметры:

Затем по формуле (3.18) рассчитаем товарный запас.

В табл. 3.5 приведены результаты расчетов товарного запаса для трех законов распределения при различных значениях F (x).

Таблица 3.5

Результаты расчетов товарного запаса для различных видов распределения и вероятности отсутствия дефицита, ед.

Анализ табл. 3.5 позволяет для данного примера сделать следующие выводы:

• • не наблюдается стабильных соотношений величин Q_T для различных законов распределения при изменении вероятности отсутствия дефицита F (x);
• • с ростом F (x) расхождения в оценках Q_T достигают значительных величин, что затрудняет принятие однозначного решения и требует привлечения других критериев, например экономического;
• • закон распределения играет существенную роль при расчете товарного запаса и должен выбираться в соответствии с известными критериями согласия, при этом выборка должна быть представительной. В то же время следует заметить, что для определенных областей значений F (x) величины Q_T практически совпадают для различных законов распределения и в этом случае оценка для рассматриваемых исходных данных может быть выполнена на основании одного из них. <

Один из выводов, который следует вынести из представленной научной дискуссии, — это необходимость учета закона распределения случайных величин, характеризующих процессы поставок и расхода. Однако пример, рассмотренный выше, достаточно прост и редко встречается на практике.

? Разбор ситуации Рассмотрим более сложную ситуацию, которая может возникнуть практически на любом предприятии, где управление запасами не относят к задачам логистики и вопросами организации заказов занимаются специалисты по закупкам (закупщики). Ситуация характеризуется двумя случайными величинами — интервалом поставки и величиной поставки Q_rРассчитаем показатели текущего и страхового запасов. Исходные данные и вспомогательные расчеты приведены в табл. 3.6 и 3.7.

Таблица 3.6

Исходные данные и вспомогательные расчеты для определения параметров текущего и страхового запасов.

Примечание. В последней строке — суммы значений в столбцах.

Таблица 3.7

Исходные данные и результаты расчета для определения параметров текущего и страхового запаса (при Tj>T_t)

Примечание. В последней строке — суммы значений в столбцах.

Результаты расчета текущего запаса в днях и единицах продукции приведены в табл. 3.8. Очевидно, что для данной конкретной ситуации результаты расчета показателей для текущего запаса практически совпадают. Следует отметить, что такое же значение Q получено при расчете на основании данных о величинах поставок Qf.

Таблица 3.8

Результаты расчета показателей текущего запаса

В табл. 3.9 приведены результаты расчетов страхового запаса с учетом вероятности отсутствия дефицита Р = 0,95, т. е. а = 1,65.

Из анализа полученных результатов следует:

• • величины страхового запаса, рассчитанные различными способами, имеют значительный разброс: наибольшее значение практически в два раза превышает наименьшее;
• • использование информации об «опоздавших» партиях приводит к меньшим значениям страхового запаса.

Таблица 3.9

Результаты расчета показателей страхового запаса.

Отсутствие правил выбора наиболее предпочтительных вариантов оценки текущего и страхового запасов приводит к возрастанию количества возможных сочетаний оценок показателей, которые могут быть составлены с учетом формул (3.4)—(3.10).

Логически обоснованными являются четыре варианта (из десяти возможных):

• 1) текущий 47 + страховой 15 = 62 ед.;
• 2) текущий 50 + страховой 14 = 64 ед.;
• 3) текущий 47 + страховой 14 = 61 ед.;
• 4) текущий 50 + страховой 9 = 59 ед.

Очевидно, что на основе малой выборки затруднительно получить надежные выводы об окончательном варианте расчета размера запаса. Следует подчеркнуть, что для всех четырех вариантов эмпирическая оценка.

количества случаев дефицита составляет п = — = 0,17, что значительно превосходит величину Р (х) = 0,05.

Заметим, что в нашем примере для определения текущего и страхового запаса статистическими методами, с точки зрения закупщика, используются данные о поставках, рис. 3.4, а, при этом не учитывается важнейший процесс, происходящий с запасом, — процесс его расходования. На рис. 3.4, б показано, что в реальном процессе расхода возникают ситуации дефицита к моменту следующей поставки, а также ситуации наличия остатка, к размеру которого добавляется прибывшая партия поставки. Па рис. 3.4, в совмещены расчетные и фактические процессы поступления и расходования запаса.

Рис. ЗА. Фактические и расчетные процессы поступления и расхода:

а — базовый процесс поставок; б — реальный процесс поступления и расхода; в — расчетный и реальный процессы поступления расхода ^.

В параграфе 3.1 были рассмотрены разные подходы к определению текущего и страхового запаса с помощью статистических методов. Попытаемся разобраться, насколько близкие результаты дают разные формулы для расчета величины запасов.

? Научная дискуссия Проиллюстрируем возможности применения формул для расчета текущего и страхового запаса, представленных в табл. 3.1 и 3.2, проанализируем результаты и возможные условия применения. Для этого рассмотрим пример, аналогичный примеру выше, при условии, что известны следующие статистические параметры поставки и расхода:

• • средний интервал между поставками: Т_ср = 5 дн.;
• • среднее квадратическое отклонение интервала поставки: а_т- 1 дн.;
• • средний расход: D = 5 ед/дн;
• • среднее квадратическое отклонение расхода: a_D = 2,54 ед/дн.;
• • средний объем поставки: Qcp = 26 ед.;
• • среднее квадратическое отклонение объема поставки: стq = 6,6 ед.

Данные о поставках приведены в табл. 3.10.

Таблица 3.10

Данные о поставках и вспомогательные расчеты.

Примечание. В последней строке — суммы значений в столбцах.

Расчет нормы текущего и страхового запаса по формулам табл. 3.1 и 3.2 представлен в табл. 3.11 и 3.12. Кроме норм запаса в табл. 3.11 и 3.12 показаны результаты расчета величины запаса в днях (исходя из того, что норма текущего запаса равна половине величины запаса) и натуральных единицах.

Расчет текущего запаса

Таблица 3.11

* Рассчитывается с учетом, что средний расход в день составляет D = 5 ед.

Таблица 3.12

Расчет страхового запаса

* Рассчитывается с учетом, что средний расход в день составляет D = 5 ед.

Расчет нормы текущего и страхового запаса для циклического процесса с фиксированной величиной максимального размера запаса и ежедневным расходом показал, что хотя разброс полученных значений и есть, но он не значительный. Так, разброс текущего запаса составил от 20 до 31 ед., разброс значений страхового запаса — от 10 до 24 ед. ?

Важно запомнить

Это сопоставление позволяет сделать вывод, что формулы для расчета нормы запаса (табл. 3.1 и 3.2) могут использоваться для процессов с числом случайных величин, не превышающих две, например со случайной продолжительностью цикла поставки и случайным ежедневным расходом.

Для рассмотренного в рамках дискуссии примера принципиально важно, что расход материальных ценностей был ежедневным. Если обращение к запасу происходит через случайные промежутки времени и размер требований тоже является случайной величиной, то вывод, сделанный нами в конце дискуссии, может оказаться неверным.

? Вопросы практики (продолжение научной дискуссии)

Рассмотрим еще более сложную ситуацию, когда имеются четыре случайных величины: интервал между поставками, размер поставки, интервал между требованиями, размер требования (расхода). Рассчитаем показатели и нормы текущего и страхового запаса по данным о поставке и расходе двигателей на складе, полученным нами на одном автотранспортном предприятии (табл. 3.13 и 3.14).

Таблица 3.13

Данные о поставках двигателей на склад

Таблица 3.14

Данные о расходе двигателей на складе

Определим статистические характеристики параметров поставки и расхода двигателей. Вспомогательные расчеты приведены в табл. 3.15.

Таблица 3.15

Вспомогательная таблица для расчета параметров поставки и расхода двигателей

Средний интервал между поставками: Г_ср = 54: 11 = 4,9 — 5 дн. Среднее квадратическое отклонение интервала поставки:

Средний объем поставки: (2q> = 72: 11 = 6,63 сд. * 7 сд. Среднее квадратическое отклонение объема поставки:

Средний интервал между требованиями: 5_ср = 54: 15 = 3,6 дн. Среднее квадратическое отклонение интервала между требованиями:

Средний объем требования: R_cp — 66: 15 = 4,4 ед. Среднее квадратическое отклонение объема требований:

Здесь и далее следует учитывать одну важную особенность статистического подхода к расчету показателей запаса. Если речь идет о непрерывных величинах, то получаемые значения, например 2,6 ед., не противоречат смыслу рассматриваемой величины. При рассмотрении итоговых результатов такие величины могут учитываться как дробные значения или, в случае необходимости, могут быть заменены целыми числами.

Если рассматриваются дискретные величины, как, например, количество двигателей, то рассчитываемые параметры должны быть обязательно округлены до целых значений. Однако это требование распространяется только на конечные результаты. Например, при расчете среднего квадратического отклонения учитывается неокругленное среднее значение, а конечными результатами расчета показателей запасов являются округленное среднее значение и округленное среднее квадратическое отклонение.

Выполним расчеты нормы текущего запаса по формулам табл. 3.1:

• 5 4″ 3 б
• • М. П. Айзенберг-Горского: Т_т = -—^—1 = 3,3дн.;
• • А. М. Баскина: Т_т =—^^ = 0,7 дн.;
• 54
• • по методике Минтяжмаша: 71 =-= 2,45 дн.;

^т 2−11.

• Н. Д. Фасоляка: 71 = — 5 + 4 + -^- =5 дн.;

^т 2[ 4,4 J.

_ 1−10+ 11−2 + 10−2+… + 1−6 208

• • Б. К. Федорчука: 71 —=-= 1,44 дн.
• 1 ^{3 т} 2−72 144

Из анализа полученных результатов следует, что норма текущего запаса, рассчитанная по разным формулам, колеблется от 0,7 до 5 дн., т. е. наблюдается почти семикратное расхождение результатов расчета. На наш взгляд, это объясняется присутствием четырех случайных величин, характеризующих процессы поставки и расхода двигателей: интервала времени между поставками, объема поставки, интервала времени между требованиями и объема требования (расхода), тогда как формулы табл. 3.1, по которым были рассчитаны нормы текущего запаса, учитывают в основном не более двух случайных величин.

Для определения нормы страхового запаса по формулам табл. 3.2 необходимо выполнить вспомогательные расчеты (табл. 3.16).

Таблица 3.16

Вспомогательная таблица для расчета показателей страхового запаса

Примечание. В расчетах принято Т_ср = 4,9 дн.

Рассчитаем норму страхового запаса, но формуле:

• К. В. Инютиной:

• Н. Д. Фасоляка:^[1]

Расход двигателей со склада определялся количеством требований, поступивших на склад, и их наличием. Большие партии расхода были связаны с отправкой двигателей на капитальный ремонт (один — два раза в месяц); помимо этого часть двигателей небольшими партиями поставлялись на участок текущего ремонта, а также филиал АТП.

Очевидно, что сочетание указанных поставок и требований приводит к формированию случайного, нестационарного и дискретного процесса «поставка — расход», который не может быть описан относительно простыми статистическими методами, включающими оценки средних значений и средних квадратических отклонений. В этом случае предпочтение должно быть отдано другим методам: прогнозированию и имитационному моделированию, представленным в гл. 8.

Во-вторых, приведенные в табл. 3.1, 3.2 данные в виде двух независимых выборок не дают представления о динамике реального процесса и не отражают взаимосвязь (интеграцию) поставок и расхода. Для устранения данного недостатка необходимо совместить процессы поставок и расхода и определить остатки запасов на конец каждого дня анализируемого периода, как это представлено в табл. 3.17.

Таблица 3.17

Данные о движении запасов двигателей на складе АТП, ед.

* Начальный запас на 1 января.

** Ситуация дефицита (с отложенным спросом).

На рис. 3.5 приведен график движения запаса (совмещенный приход и расход двигателей).

Рис. 3.5. График изменения уровня запаса двигателей Из анализа табл. 3.17 и рис. 3.5 следует, что при начальном запасе на складе, равном 5 двигателям (1 января), в течение двух месяцев наблюдаются одна ситуация дефицита, когда объем требования превышает наличный запас: с 17 по 27 января. Наибольшая величина дефицита — 6 двигателей. Поскольку у предприятия нет возможности мгновенно пополнить запас двигателей на складе и удовлетворить требования, такая ситуация называется дефицитом с отложенным спросом.

Допустим, что начальный запас на складе на 1 января был равен 11 двигателям. Сохранив все данные о поставках и расходе такими же, как и в первом варианте, рассчитаем величины запаса на начало дня за два месяца. Результаты расчета для второго варианта приведены в последнем столбце табл. 3.17, из которой следует, что ситуации дефицита не наблюдается.

Следовательно, при выборе стратегии управления запасами на складе АТП, в которой оценка эффективности будет определяться на основе критерия отсутствия дефицита, регулирующий параметр — начальный запас — на основе статистических данных может быть определен таким образом, чтобы за весь рассматриваемый период остаток запаса на складе был равен или больше нуля.

Если для величин запаса (на конец дня) будет произведена соответствующая статистическая обработка, то определение начального запаса может быть выполнено на основе вероятностного критерия. <

• [1] В. А. Щетины: Тс = 1,65 4 / VTl = 2,09 дн. Из анализа результатов расчета страхового запаса по формулам табл. 3.2следует, что диапазон значений колеблется от 2 до 7 дн., что несколькоменьше, чем размах таких значений для нормы текущего запаса. Попытаемся разобраться, в чем причины такого сильного расхождениярасчетных оценок в рассмотренном примере. Во-первых, подробный анализ данных о поставках и расходе (количество требований на замену двигателей) на складе показал, что поставкиосуществлялись из трех разных источников. Первый поток — это новыедвигатели, которые закупались централизованно для всех автотранспортных предприятий, входящих в холдинг, и распределялись относительноравномерно в течение года. Количество таких двигателей в одной поставкебыло сравнительно небольшим, при этом сроки поставки не зависелиот автотранспортного предприятия (АТП). Второй поток поставок — капитально отремонтированные двигателис авторемонтного завода относительно крупными партиями. Поставки этихпартий, как правило, осуществлялись в конце или в начале следующегомесяца. Третий источник — двигатели после текущего ремонта, который производился на специальном участке АТП. Количество таких двигателейв одной поставке не превышало 3 ед. в день, сроки поставки колебалисьот 1 до 15 дн.