Оптимальные траектории в модели Рамсея

Модель Рамсея является моделью экзогенного роста. Она имеет схожую структуру с моделью Солоу, в частности, в ней выполняются уже известные нам соотношения: выпуск, задаваемый неоклассической производственной функцией,.

делится на потребление и инвестиции, запас капитала равен.

где р — это норма амортизации, а темп роста рабочей силы (которая совпадает со всем населением) постоянен:

Сейчас мы для простоты изложения будем предполагать, что технического прогресса нет (его темп прироста равен нулю): 1 = Aq = A_i = … = A_t =…. Таким образом, темп прироста эффективной рабочей силы совпадает с темпом прироста рабочей силы п. Кроме того, будем считать, что капитал в течение одного периода выбывает полностью (р = 1).

Важно запомнить

Может показаться, что предположение о полном выбытии капитала в течение одного периода не слишком реалистично. Но содержательно оно может означать, что в качестве периода времени t берется не один год, а, скажем, пять лет. Тогда предположение о том, что почти весь капитал текущего периода не может быть использован в следующем, более оправданно. Это лишний раз подчеркивает принципиально долгосрочный характер всех моделей экономического роста.

Учитывая все вышесказанное, основные соотношения, которым удовлетворяет модель Рамсея, можно переписать так:

Перейдем к удельным величинам, традиционно обозначая их соответствующими строчными буквами. Разделив первое из этих соотношений на L_t, мы получим.

Как и в случае модели Солоу, при заданном L₀ по последовательности капиталовооруженностей (?Д₌о, 1,… ^мы можем однозначным образом указать значения всех интересующих нас переменных (как удельных, так и валовых) в любой момент времени. Но все равно для удобства под траекториями в модели Рамсея мы будем понимать последовательности капиталовооруженностей и удельных потреблений, (k_n c_t)_t=0л .

Важным отличием модели Рамсея является механизм формирования нормы сбережения. В модели Солоу делалось простейшее предположение о том, что сбережения, а значит и потребление, составляют постоянную долю выпуска. Тогда равенство (20.1) превращалось в уравнение динамики последовательности капиталовооруженностей. Но взглянем на уравнение (20.1) подробнее. Фактически оно означает, что сегодняшний выпуск f (k_t) надо разделить на сегодняшнее потребление c_t и инвестиции в фактор производства (физический капитал k_t+1), что позволит произвести продукцию завтра. При этом, чем меньше агенты потратят на потребление сегодня, тем больше они инвестируют. Тогда тем большим будет завтрашний выпуск, что может обеспечить более высокий уровень потребления. Таким образом, агенты должны принимать решение о том, сколько сберегать, каким-то образом соизмеряя текущее и будущее потребление.

Предположим, что нам известна мгновенная (краткосрочная) функция общественной полезности и: К₊ —> М, которая ставит в соответствие уровню удельного потребления с в обществе на некотором единичном промежутке времени величину общественной полезности и (с) Обычно предполагается, что эта функция дважды непрерывно дифференцируема внутри своей области определения, монотонно возрастает (и' > 0), строго вогнута (и" < 0), а также удовлетворяет условиям Инады (lim и'© = +°°_у lim и'(с)= 0).

с—>0 с —> °°.

Предположим также, что задан общественный коэффициент дисконтирования Р (0<(3<1), с помощью которого соизмеряется полезность от потребления в различные моменты времени. В этом случае в текущий (нулевой) оо момент времени целевая функция общества есть ?(3'и (сД Она представав ляет собой дисконтированную общественную полезность на бесконечном интервале времени. Обратите внимание, что |3' — это Р в степени t. Нижний индекс времени t мы используем для того, чтобы обозначать переменные, относящиеся к моменту или периоду t. А в случае, когда индекс времени стоит вверху, он показывает степень, в которую возводится то или иное число.

Важно запомнить

Межвременные предпочтения общества определяются коэффициентом дисконтирования р. Этот коэффициент можно интерпретировать как степень «нетерпеливости» общества — то, насколько сильно или слабо данное общество ценит свое будущее. Например, равенство нулю этого коэффициента (Р = 0) означает абсолютную нетерпеливость или «близорукость», при которой будущее потребление не имеет вообще никакой ценности с точки зрения сегодняшнего дня. Чем выше р, тем более терпеливым является общество. Другой предельный случай, абсолютной терпеливости (Р = 1), означает, что единица полезности от любого потребления в будущем так же важна для агента, как и единица полезности от сегодняшнего потребления. Сразу же уточним, что в рамках модели Рамсея оба предельных случая не рассматриваются. Случай Р = 0 бессодержателен, так как означает, что общество потребит все в начальный момент времени. В случае же р = 1 решение задачи о максимизации оо дисконтированной полезности? м (с,) не будет существовать. Отметим, что в рамках.

?=о модели Рамсея коэффициент дисконтирования общества предполагается постоянным и заданным, а вопрос о его формировании практически никогда не рассматривается.

А При заданном начальном значении капиталовооруженности =к₀, задача оптимального экономического роста в модели Рамсея на бесконечном горизонте планирования имеет следующий вид:

Можно показать, что, поскольку (3<1, решение этой задачи существует, а в силу строгой вогнутости функции f (k) оно единственно. Последовательность (k*_t, c*_t)_{t=0 t}, являющаяся решением задачи (20.2), называется оптимальной траекторией в модели Рамсея (исходящей из начального А.

состояния к₀). Несложно проверить, что в силу условий Инады капиталовооруженность к* и удельное потребление c_t являются положительными числами для всех t = 0,1,____.

Последовательность (к* _Ус*)_{1=0 {} является решением задачи (20.2) тогда и только тогда, когда выполняются следующие соотношения (см. Предложение B.1 в математическом приложении В):

и при этом =k₀. Набор равенств (20.3) представляет собой бюджетные ограничения задачи. Соотношения (20.4) известны как условия первого порядка. Наконец, (20.5) называется условием трансверсальности. Уравнения (20.3)—(20.5) полностью определяют оптимальную траекторию.