Вопросы и задания по главе для самостоятельной работы

1. Вернемся к условиям примера минимаксных критериев, где допустимыми решениями являлись «малый» (д,), «средний» (х₂) и «большой» (.г₃) объемы заказа некоторого ресурса, а состояния внешней среды характеризовались тремя возможными уровнями спроса: «низкий» (5,), «средний» (s₂) и «высокий» (s₃). Пусть попрежнему функция потерь задана таблицей:

Предположим теперь, что помимо этой информации в распоряжении ЛПР имеются данные о том, с какой относительной частотой возможные ситуации s_v s₂> s₃ наблюдались в прошлом. А именно, в 20% случаев имел место низкий уровень (s,)> в 50% — средний уровень (s₂), а в 30% — высокий уровень (s₃). Таким образом, нам доступны значения относительных частот: 0,2, 0,5, 0,3.

Приняв указанные выше относительные частоты в качестве оценок вероятностей Р для состояний внешней среды s_v s₂, s₃, требуется определить оптимальное решение с помощью байесовского критерия.

• 2. Показать, что построенное в примере не квазипорядкового отношения согласно «правилу большинства» бинарное отношение R⁽⁾ не является отношением квазипорядка.
• 3. Установить с помощью коэффициента конкордации W наличие (или отсутствие) значимой согласованности между тремя частными критериями:/,/₂,/₃ в условиях примера нс квазипорядкового отношения. (Уровень значимости принять равным 0,05.) Сделать выводы.
• 4. В условиях того же примера не квазипорядкового отношения определить наличие корреляционной связи между упорядочениями объектов, задаваемыми первым и третьим частными критериями.
• 5. Пусть требуется построить обобщенный критерий в виде линейной свертки (10.39) имеющихся в распоряжении ЛПР т = 4 числовых частных критериев:

Пусть известно, что «вклад» критерия /,* при этом должен составить не менее 20%, а критерия /₂* — нс менее 40%. Укажите средние значения весовых коэффициентов P₉PxPz_tPv если используется модель рандомизации, основанная на равновозможности всех допустимых наборов весовых коэффициентов.

6. Четыре возможные альтернативные решения x_v …, х₄ характеризуются тремя числовыми частными критериями: /*, /₂*, /₃*, значения которых (в относительных единицах, т. е. после нормировки) приведены в следующей таблице.

При принятии решения о выборе наилучшей из альтернатив ЛПР полагает, что наименее весомым является критерий /₃*. Критерий /₂* имеет в три раза больший вес, а /,* — наиболее весомый критерий (его вес в два раза больше, чем у f*).

Какая из четырех альтернатив будет признана наилучшей, если решение будет основано на линейной свертке?

• 7. Рассмотрим исходные данные предыдущего примера, полагая, что каждое значения в таблице — полезность (в относительных единицах), которой обладает данная альтернатива с точки зрения данного частного критерия. ЛПР должен выбрать один из трех частных критериев в качестве главного исходя из критерия максимизации минимальной полезности. Который из трех имеющихся следует выбрать?
• 8. Пусть «внешняя среда» может находиться в двух состояниях: 5, — с вероятностью р и s₂ — с вероятностью (1 — р). ЛПР следует принять одно из трех возможных альтернативных решений: х_{, х₂, х₃, причем функция потерь L (s, х) имеет следующий вид

Какое из решений следует выбрать в качестве оптимального с точки зрения минимизации риска — в зависимости от вероятности р?

• 9. Сформулируйте условия, при которых использование в качестве обобщенного критерия среднего геометрического может быть более оправданным по сравнению со средним арифметическим.
• 10. Пусть в условиях примера выбора байесовского решения спрос на скоропортящийся товар — случайная величина, плотность распределения которой имеет форму равнобедренного треугольника, в основании которого лежит отрезок [10, 601. Укажите объем заказа на данный товар, оптимальный с точки зрения байесовского риска, если доход от реализации 1 ед. товара в четыре раза превосходит потери в случае ее не реализации.