Устойчивость агрегированной системы

Рассмотрим систему, которая после декомпозиции описывается уравнениями.

где Hkj — числовая (п* х п^-матрица. Если пренебречь взаимосвязями, то получим г независимых подсистем S* (k = 1,2,…, г), которые описываются уравнениями.

Пусть каждая из этих подсистем обладает функцией Ляпунова V/.(x^,?), которая удовлетворяет следующим соотношениям:

В (7.356) Vk (x^^k) являются производными по времени в силу уравнений (7.34). Так как эти производные отрицательно определены, подсистемы 5* (А: = 1,2,…, г) асимптотически устойчивы. Кроме того, в силу условия (7.35а) функция УЦх^,?) имеет бесконечно большой нижний предел. Поэтому подсистемы S* (к = 1,2,…, г) асимптотически устойчивы в целом. В случае когда подсистемы являются линейными стационарными, имеет место экспоненциальная устойчивость. Согласно теореме 7.3, если подсистемы экспоненциально устойчивы, то выполняется соотношения (7.35). Однако в общем случае выполнение соотношений (7.35) не гарантирует экспоненциальную устойчивость.

Теорема 7.4. Пусть подсистемы (7.34) обладают функциями Ляпунова Vfc (x^<), удовлетворяющими соотношениям (7.35), и элементы матрицы D = (d*i) (A, i = 1,2,…, г), составленные из констант сы, входящих в соотношения (7.35), и евклидовых норм матриц взаимосвязи Ны из (7.33), имеют вид

Тогда если положение равновесия z = О системы.

асимптотически устойчиво, то положение равновесия.

агрегированной системы (7.33) асимптотически устойчиво.

Система (7.37) является системой сравнения для агрегированной системы (7.33). С ее помощью исследование устойчивости системы (7.33) 71-го порядка сводится к исследованию устойчивости линейной стационарной системы r-го порядка.

которое доказывается следующим образом. Умножим обе части неравенства на —1 и перенесем многочлен из правой части в левую. Тогда получим Ниже при доказательстве теоремы 7.4 используется неравенство.

или Доказательство теоремы 7.4. Производная по времени функции Vk (x, t) в силу уравнений (7.34) имеет вид.

Производная по времени функции V*(x, ?) в силу уравнений (7.33) имеет вид.

Используя соотношения (7.356), (7.35в) и (7.31), получим.

Далее, используя неравенство (7.38), полагая в нем.

а также неравенство Коши-Шварца (4.19), найдем.

(Ъ)(зз) |.

j~ 1.

j^k

S=i '.

Зфк

^-c-f ix (fc)i2+1⁷ E и*м2? ix (>)i2;

j=i &b

J=1

j*k

Из (7.35a) получаем.

-|x^(fc)|² ^ |xW|² $ -L Vi (xW,").

Cjfc2 Cfci.

Поэтому последнее соотношение можем записать в виде.

Vj (x (j), 0.

Cil.

• (Ъ).*) + fer? ця*ц2 ?
• 2с*з

i=i.

i**.

j=i.

j?*.

Используя векторную функцию Ляпунова.

V (x, t) = [Vi (x⁽¹) К₂(х<²), 0 … V_r(x^®,<)]^T, эти неравенства при к = 1,2,…, г можно представить в векторном виде:

V (x, i)^I>V (z, t),.

или.

v (0 ^ пЩ),.

где V (0 = V (x (?), t), x (t) — решение системы уравнений (7.33). Пусть z(t) — решение уравнения (7.37) при начальном условии z (t₀) = V (x (*₀),*o). Тогда согласно теореме 7.2 выполняется неравенство.

V (t)^z (t), t ^ Jo;

Так как положение равновесия z = 0 системы (7.37) асимптотически устойчиво, то z (t) —> 0 при? —> оо. И в силу того, что все компоненты векторной функции Ляпунова являются положительно определенными функциями, V (t) = V (x (t), t) -" 0 и соответственно x (t) -" 0 при t —> оо. Теорема доказана.