Неравенство Минковского. 
Математический анализ: определенный интеграл

Неравенство Минковского было установлено Г. Минковским (1896) и является обобщением неравенства треугольника для нормированных векторных пространств.

Теорема 2.4 (неравенство Минковского в интегральной форме).

Пусть f и g — dee неотрицательные и интегрируемые на отрезке [а, Ь] функции, р > 1 — любое действительное число. Тогда справедливо неравенство

Неравенство Минковского является следствием неравенства Гёльдера, его доказательство можно найти, например, в книгах [1, 9].

Замечание 2.7. Для произвольных (необязательно неотрицательных) интегрируемых на [а, Ъ] функций неравенство Минковского имеет вид.

Замечание 2.8. В случае р = 2 из неравенства Минковского получаем неравенство Коши.

Замечание 2.9. В случае р = п = 1 из неравенства Минковского (для сумм).

получаем известное неравенство для модулей (неравенство треугольника): |а + Ь| < |а| + |Ь|.

Замечание 2.10. По индукции можно доказать и более общее неравенство для функций f_k, k = l, 2,…, n, неотрицательных и интегрируемых на отрезке [а, Ь]:

В заключение рассмотрим еще одно интегральное неравенство, доказательство которого можно найти в [1, с. 240].

Пусть функции f_k, k-l, 2,…, n, интегрируемы на отрезке [а,Ь]. Тогда справедливо неравенство.