Свойства и преобразования несобственных интегралов

Мы будем рассматривать функции, интегрируемые в конечном или бесконечном промежутке. Таким образом, a и b могут означать не только конечные числа, но также и ±?. Простейшие свойства несобственных интегралов, которые мы лишь перечислим, вполне аналогичны свойствам собственных интегралов и получаются из них единообразным приемом. Так как несобственные интегралы суть пределы собственных, то обычно достаточно написать для этих последних равенство или неравенство, выражающее требуемое свойство, и перейти к пределам.

Здесь, прежде всего, также можно ввести понятие об интеграле по ориентированному промежутку и установить:

Свойства не собственных интегралов. 1. Если ѓ(х) интегрируема в промежутке, то она интегрируема в промежутке, причем.

= - .

2. Пусть ѓ(x) интегрируема в наибольшем из промежутков, и. Тогда она интегрируема в двух других, и имеет место равенство.

= + .

3. Если ѓ(х) интегрируема в и с=const, то и с*ѓ(х) также интегрируема, и.

с* .

4. Пусть функции ѓ(х) и g (x) — обе интегрируемы в промежутке; тогда интегрируема и функция ѓ(х) ± g (x), и.

=.

5. Если для двух интегрируемых в функций ѓ(х) и g (x) выполняется неравенство ѓ(х)?g (x), то при a.

.

• 6. Если функция ѓ(х) в промежутке абсолютно интегрируема, то (при a
• ?.
• 7. Если функция ѓ(х) интегрируема в, то при любом х из этого промежутка существует интеграл:

Ц (х)=

и представляет собой непрерывную функцию от х.

8. При тех же предположениях, если в точке х =х 0 функция ѓ(х) непрерывна, существует производная для функции Ц'(x0) = ѓ(x0).

Теоремы о среднем значении несобственных интегралов. Первая теорема о среднем значении. Пусть функции ѓ(х) и g (x) обе интегрируемы в промежутке, причем ѓ(х) ограничена m ?ѓ(x)?M, а g (x) не меняет знака; тогда и функция ѓ(х)*g (x) интегрируема и

=м, где m? м?М.

Если функция ѓ(х) непрерывна в замкнутом промежутке, то за m, М можно зять наименьшее и наибольшее значение ѓ(х) в, и множитель м оказывается равным одному из значений функции ѓ(х):

= ѓ(с)*,

где с содержится в. Это верно в том случае, если промежуток бесконечен, ибо теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши для этого случая также справедливы.

Вторая теорема о среднем значении. Пусть функция f (х) монотонна и ограничена в промежутке, а функция g (x) интегрируема в этом промежутке. Тогда и функция f (х)*g (x) также интегрируема, и

=f (а)+f (b) (ab).

Остановимся для определенности на случае, когда а конечно, b=+? и других особых точек для g (x) нет. Существование интеграла вытекает из признака Абеля. Функцию f (х) можно считать убывающей. Ввиду ограниченности ее, существует конечный предел

f (+?)=lim f (х).

f*(х)=f (х)-f (+?)0.

Для конечного промежутка имеем:

=f (а) (а).

Непрерывная в промежутке функция от, А имеет конечные границы m, М, так что:

m· f*(а) M· f*(a).

и, в пределе при А+?,

m · f*(a) M· f*(a).

=µ· f*(а) (mµM). (1).

Полагая в (1):

f*(х)= f (х)-f (+?)

и подставляя только что найденное выражение для µ, и придем к доказываемой формуле.

Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов. Пусть функция u=u (x) и определены и непрерывны вместе со своими первыми производными во всех точках промежутка, исключая точку b (которая может быть равна и +?).Тогда имеет место равенство:

u — ,

Если под двойной подстановкой понимать разность lim u (x)(x)-u (a)(a).

При этом предполагается, что из трех входящих в равенство выражений (два интеграла и двойная подстановка) имеют смысл два: существование третьего отсюда уже вытекает.

В самом деле, взяв a₀напишем обычную формулу интегрирования по частям для промежутка [а, х ₀], где все интегралы — собственные:

= [u (x₀)х (x₀)-u (a)х]-.

Пусть теперь в этом равенстве х ₀ стремится к b. По условию, два из входящих в него выражений имеют конечные пределы при х>х _{0 *.} Следовательно, имеет конечный предел также третье выражение, и доказываемое равенство оправдывается с помощью предельного перехода.

Примеры:

1. = x ln sinx — = -.

— интегрирование по частям здесь удалось свести несобственный интеграл к собственному и тем доказать существование несобственного интеграла.

2. = - = - - (а<0).

Так как и двойная подстановка и интеграл справа имеют смысл, то этим снова доказано существование интеграла слева.

Замена переменных в несобственных интегралов. Пусть функция ѓ(х) определена и непрерывна в конечном или бесконечном промежутке [а, b? и, следовательно, интегрируема в собственном смысле в каждой его части точки b, которая может быть +?; это точка, по предложению, является единственной особой точкой для функции ѓ(х).

Рассмотрим теперь монотонно возрастающую функцию х=ц (t), непрерывную вместе со своей производной ц'(t) в промежутке [б, в?, где в может быть +?, и допустим, что ц (б) =б и ц (в)=b. Последнее равенство надлежит понимать в том смысле, что ц (t)=b.

При этих условиях имеет место равенство:

ц'(t) dt,.

в предположении, что существует один из этих интегралов. Второй интеграл будет либо собственным, либо несобственным — с единственной особой точкой в.

Пример: Вычислим интеграл разобьем его на два:. Во втором из них сделаем подстановку:

(a=1, b=?, б=1, в=0) b.

придем к результату

откуда следует, что предложенный интеграл равен 0.

Применение основной формулы интегрального исчисления. В приведенных примерах интеграл по конечному промежутку вычислялся с помощью первообразной функции, затем осуществлялся переход к пределу.

Пусть, например функция f (х) определена в промежутке [а, +?) и интегрируема в каждой конечной его части [а, А]. Если для f (х) при этом существует первообразная функция F (x) во всем промежутке [а, +?), то основной формуле интегрального исчисления

Отсюда ясно, что несобственный интеграл.

существует в том и только в том случае, если существует конечный предел.

если под F (-?) разуметь предел F (A?).Самая возможность вычисления двойной подстановки, связанная с существованием и конечностью фигурирующего в ней предела, свидетельствует уже о сходимости интеграла.