О вариационном исчислении и методах оптимизации

Современное вариационное исчисление как отрасль математики есть отрасль функционального анализа. Значимость вариационного исчисления высока, поскольку именно оно является фундаментальной основой, на которой строятся приобретающие все большую важность современные методы оптимального проектирования во многих отраслях инженерного знания и в других отраслях человеческой деятельности.

Становление вариационного исчисления уходит в незапамятные времена и связано с вечным желанием людей сделать окружающий их мир совершеннее. Возьмем задачу Дидоны о наибольшей площади, которую можно отделить с помощью воловьей шкуры, или задачу Ньютона отеле минимального сопротивления. В каждой из них мы видим попытку возможными и, как правило, ограниченными ресурсами получить наилучший результат.

Вариационное исчисление обязано своим созданием и развитием большинству выдающихся математиков прошлого. В его идеях отразился гений И. Ньютона (1643—1727), Л. Эйлера (1707- 1783) и Ж. Л. Лагранжа (1736—1813), А. М. Лежандра (1752—1833), К. Якоби (1804—1851), У. Гамильтона (1805—1865), К. Вейерштрасса (1815—1897). Позднее неоценимый вклад в вариационное исчисление внесли Д. Гильберт (1862—1943), О. Больц (1857—1942) и Л. Тоннели (1885−1946).

Сегодня математика рассматривает вариационное исчисление как раздел функционального анализа, и многие из учебников, посвященных вариационному исчислению, исходят из такого подхода к предмету. Но предмет функционального анализа находится за пределами подавляющего большинства направлений подготовки в высшей технической школе, что заставляет задуматься над тем, как преподносить вариационное исчисление в техническом вузе. Нам важно нс потерять строгость, но важно и не потерять его прикладной характер, «утонув» в подходах математико-логического формализма, к которому склонно большинство современных учебников. И здесь уместно указать на такое обстоятельство, как повсеместное и часто не вполне оправданное использование этого формализма с высоким уровнем абстракции в изложении математики во многих современных учебниках и книгах. Это особенно характерно для французской математической школы, что очень часто делает выдающиеся достижения современной математики практически недоступными для инженерного сообщества. Заметим, что на это указывал один из крупнейших математиков нашего времени Владимир Игоревич Арнольд (1937—2010) — жесткий критик логико-формапистичсского подхода французской школы Н. Бурбаки, нанесшей, по его мнению, существенный вред преподаванию математики в современном мире. Вслед за крупнейшим математиком Х1Х-ХХ вв. Анри Пуанкаре (1854—1912) Владимир Игоревич считал важнейшими подходы в изложении, которые характеризуются наглядностью и ясным геометрическим смыслом.

Именно на пути сочетания традиционного (классического) изложения вариационного исчисления с некоторыми современными взглядами на предмет автор старался писать эту книгу.

Цель данной книги — знакомство с основными понятиями и подходами вариационного исчисления применительно к его практическому использованию главным образом в инженерном анализе и проектировании.

Книга состоит из восьми разделов. Разделы 1 и 2 носят вводный характер, поскольку в них рассматривается как простейшая задача вариационного исчисления, так и ее некоторое расширение.

В разделе 1 рассматриваются важнейшие понятия вариационного исчисления: введено понятие функционала и рассмотрены такие ключевые понятия, как вариации кривых и функционалов. При этом мы будем двигаться примерно тем же путем, которым развивалось вариационное исчисление со времен Эйлера во второй половине XVIII — начале XIX в. Сначала мы построим уравнение Эйлера—Лагранжа — важнейшее необходимое условие экстремума функционала, позволяющее определить подозрительную на экстремум функцию, затем получим необходимые условия Лежандра, Якоби и Вейерштрасса, которые разрабатывались с конца XVI11 в. по вторую половину XIX в.

Раздел 2 расширяет наше рассмотрение вариационных задач на класс задач с подвижными границами. В разделе 1 мы рассмотрели вариационную задачу в предположении, что допустимые кривые проходят через заданные концевые точки. Очевидно, что, предполагая подвижность концевых точек, мы существенно расширяем постановку задачи, поскольку ищем экстремум в более широком классе функций. При этом расширение класса допустимых функций дает нам возможность провести очень важные построения, позволяющие по-новому посмотреть на саму суть подхода к решению вариационных задач.

В разделе 3 рассмотренное в разделе 2 расширение простейшей задачи вариационного исчисления содержит два направления расширения, при этом оба они касаются только классов допустимых функций. Сначала мы предполагаем, что концы множества допустимых кривых могут быть подвижны, затем допускаем к рассмотрению кривые, у которых производные могут иметь разрывы. Безусловно, такое расширение класса допустимых функций позволяет нам увеличить множество функций, среди которых ищутся экстремали. Вместе с тем эти расширения носят локальный характер, т. е. они имеют место в нескольких точках допустимых кривых (в концевых и ряде внутренних) и не являются некоторыми ограничениями на всю кривую «в целом»^[1] или является поточечными, т. е. ограничениями в каждой точке кривой. В этом разделе мы пойдем по пути дальнейшего расширения класса допустимых функций и рассмотрим множества допустимых функций как с ограничениями на всю кривую «в целом», так и с поточечными ограничениями. В первом случае мы рассмотрим так называемую изопериметрическую задачу, само название которой указывает на то, что будут рассматриваться допустимые кривые, говоря условно, с некоторой (в каком-то смысле) «общей длиной» кривых (в каком смысле — далее уточним). Во втором случае (поточечных ограничений) мы будем рассматривать как функциональные, так и дифференциальные ограничения, которым должны удовлетворять допустимые функции.

Раздел 4 посвящен изучению квадратичного функционала и второй вариации в вариационной задаче. Здесь в дополнение к уравнениям Эйлера—Лагранжа и условиям Лежандра и Вейерштрасса рассматриваются некоторые новые необходимые условия, которые приводят к введению понятия сопряженной точки и необходимого условия Якоби. Здесь же мы подходим к рассмотрению достаточных условий слабого минимума в простейшей задаче.

В раздаче 5 продолжается рассмотрение теории поля экстремалей, начатое в разделе 2. Наряду с полем экстремалей вводится поле наклонов и строится уравнение Гамильтона—Якоби. Также приводится геометрический вывод уравнения Якоби. В определенном смысле данный раздел как бы завершает рассмотрение классического вариационного исчисления, венцом которого являлись необходимые и достаточные условия Вейерштрасса сильного экстремума.

Раздел 6 в определенном смысле особый: он вводит нас в вариационные задачи для функций нескольких независимых переменных, или, как часто говорят, в пространственные задачи вариационного исчисления. А это требует разыскания экстремальных функций многих переменных, а значит, нужно решать уравнения Эйлера—Лагранжа, которые являются уже уравнениями в частных производных. Рассматриваются необходимые условия в простейшей задаче для функций нескольких независимых переменных, задачи с подвижными границами и негладкие экстремали.

Раздел 7 посвящен связи вариационного исчисления и методов оптимизации. При этом раздел построен таким образом, чтобы дать возможность увидеть развитие теоретических основ методов оптимизации и их связь с вариационным исчислением на конкретных примерах. Также здесь мы кратко останавливаемся на принципе максимума. Приведенные примеры указывают, в частности, на проблемы, которые возникают при решении пространственных задач оптимизации.

Раздет 8 посвящен численным методам решения задач вариационного исчисления оптимального управления. Приведены основные методы решения вариационных задач — градиентный метод первого порядка и метод Ньютона. На примере решения изопериметрической задачи вариационного исчисления показано, как строятся численные процедуры для решения задач с ограничениями.

Список используемых источников

приведен в конце книги, за исключением раздела 7, где список имеет специальный характер и приведен в конце раздела.

Благодарность автора

Автор благодарен своим товарищам по Санкт-Петербургскому политехническому университету, в первую очередь профессорам Е. Д. Викторову, Л. В. Петухову и Б. А. Смольникову, за обсуждение многих вопросов вариационного исчисления, его применения к решению практически важных задач и за советы по содержанию пособия.

• [1] Что мы понимаем под ограничениями «в целом», будет разъясненодалее.