Метод инструментальных переменных

Идея метода инструментальных переменных заключается в том, чтобы подобрать новые переменные У_j (j = 1, …, l), которые бы тесно коррелировали с X_j и не коррелировали с е в уравнении.

Y = Xв + е. (6.1).

Набор переменных { Ж_j } может включать те регрессоры, которые не коррелируют с е, а также другие величины. При этом, количество переменных { Ж_j } может отличаться от исходного количества регрессоров. Такие переменные Ж₁, …, Ж_e называются инструментальными.

Инструментальные переменные позволяют построить состоятельную оценку параметра в модели (6.1), которая принимает вид:

~ 1 -1 1.

в_iv = (Z`X)<sup>-1</sup> Z`Y = —- Z`X —— Z`Y .

n n.

где Z, X, Y — матрицы наблюдаемых значений переменных.

Метод инструментальных переменных — один из наиболее распространенных методов оценивания уравнений, в которых регрессоры коррелируют со свободными членами. Именно это оказывается характерным для систем одновременных уравнений.

При условии идентифицируемой системы.

Рассмотрим модель:

Y₁ = a₁ + b₁X₁ + н₁,.

Y₂ = a₂ + b₂X₂ + н₂

Для ее коэффициентов метод оценки наименьших квадратов дает оценки.

€ € € € € € € €.

~ b₁c₂ — b₂c₁ ~ b₁c₂ — b₂c₁

в₁ = ———————-, в₂ = ——————— ,.

€ €.

€ c₂ b₁

€ c₂ € b₂

г₁ = —-; г₂ = ——;

€ €.

c₁ b₁

Эти оценки совпадают с оценками, полученными методом инструментальных переменных. Т.о. экзогенные переменные Х₁ и Х₂ используются как инструментальные для переменных Y_1, Y₂. Другими словами если при оценке идентифицируемого уравнения в качестве инструментальных переменных используются экзогенные переменные, то получаемые при этом оценки совпадают с оценками косвенного метода наименьших квадратов.