Необходимое и достаточное условие интегрируемости

Сформулируем и докажем один из основных критериев интегрируемости по Риману функции, ограниченной на отрезке.

Теорема 1.3 (критерий Римана интегрируемости функции на отрезке).

Пусть функция f ограничена на отрезке [а, Ь]. Тогда она интегрируема на отрезке [а, Ь] тогда и только тогда, когда для любого числа е>0 найдется разбиение Тотрезка [а, Ь], такое что S (T)-s (T).

Доказательство. Пусть функция/ограничена на отрезке [а, Ь].

1. Необходимость. Пусть / интегрируема на отрезке [а, Ь]. Тогда, по определению интеграла, для любого числа е > О найдется 8 = 8(e) > О, такое что для любого размеченного разбиения V отрезка [a, b], A_v <8,.

е ^ь

выполнено |/ - а (У)| < — (здесь I — J /(x)dx). Последнее неравенство пере- 3 а

пишем в виде.

Пусть неразмеченное разбиение Т соответствует разбиению V, тогда Д_г, S (T) = sup{o (V)> (см. лемму 1.2), то г v.

из неравенства (1.3) следует, что.

(если все элементы множества лежат на некотором отрезке, то точные грани этого множества также принадлежат рассматриваемому отрезку). Отсюда получаем, что.

Необходимость доказана.

2. Достаточность. Пусть для любого числа е > 0 найдется разбиение Т отрезка [а, Ь], такое что |S (T)-s (T)|</* <�Г ) (лемма 1.5), то /*-/"< е. Поскольку? — произвольное число, а значения верхнего и нижнего интегралов Дарбу от него не зависят, то последнее неравенство означает, что I* = /*. Обозначим 1 = 1* = I*.

Поскольку I" = lim s (T), Г = lim S (T) (лемма 1.6), то получаем,

Af—>0

что lim (S (T)-s (T)) = 0. Это означает по определению предела, что

Af—>0

для любого е > 0 найдется 8 = 8(e) > 0, такое что для любого разбиения Т отрезка [a, b], А_г <8, выполнено S (T)-s (T)V отрезка [a, b], A_v <8, выполнено

Поскольку s (T (V))</< S (T (V)) (лемма 1.5), то из неравенства (1.4) получим, что |/-о (У)| < е для любого размеченного разбиения V отрезка [a, b], A_v<8. Мы доказали, что I = lim o (V). Это означает, что функция/интегрируема на отрезке [а, Ь]

Ау—>0

Ь

и I = j f (x)dx. Теорема полностью доказана.

а