Функции, монотонные на отрезке

Рассмотрим еще один важный класс функций.

Теорема 1.7. Пусть функция / определена и монотонна на отрезке [а, Ь]. Тогда она интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. Будем считать для определенности, что функция/ не убывает на [а, Ь] (случай, когда / не возрастает, рассматривается аналогично). Если /(а) = /(Ь), то /(х) =/(а) =/(b) для любой точки х из [а, Ь], и / интегрируема. Пусть /(а)</(Ь). Выберем произвольное.

число е>0 и обозначим 8 = —д^-)' ^У^сть ^ ⁼ {х₀;х_а;…;х_п} — произвольное разбиение отрезка [а, Ь], Д_г < б. Тогда.

Значит, функция/интегрируема на отрезке [а, Ь]. Теорема доказана.

Интегрирование сложных функций

Говорят, что функция/удовлетворяет условию Липшица на отрезке [а, Ь], если существует константа С>0, такая что для любых значений х_ъх₂ е[а, Ь] выполнено.

(при этом С называется константой Липшица).

Замечание 1.1. Очевидно, что если функция/удовлетворяет условию Липшица на отрезке [а, Ь], то она непрерывна на этом отрезке.

Теорема 1.8. Пусть функция f интегрируема на отрезке [а, Ь], М = sup /(х), т = inf /(х). Пусть функция (р определена на отрезке

а<�х<�Ь ^а^^хйЬ

[т, М] и удовлетворяет на нем условию Липшица. Тогда сложная функция (р (/) интегрируема на отрезке [а, Ь].

Доказательство. Зафиксируем число е > 0. Так как функция/интегрируема на отрезке [а, Ь], то существует такое разбиение Т = {х₀;х₁;…;х_п}.

отрезка [а, 6], что S (T)-s (T)</ где ЯГ) и s (T) — верхняя и нижняя суммы Дарбу для функции /, соответствующие разбиению Г, а С — постоянная из условия Липшица для функции ф. Пусть.

Тогда для любых двух точек ,₂ e[Xjt_i, x_fc] справедливы неравенства.

Поскольку точки выбираются произвольно, последнее неравенство означает, что M_k -т_к < С (М_к —т_к). Тогда.

где S*(T) и s*(T) — соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу для функции ф (/). Таким образом, разность между верхней и нижней суммами Дарбу функции ф (/), соответствующими разбиению Т, меньше е. Это означает, что данная функция интегрируема на отрезке [а, Ъ]. Теорема доказана.

Справедливо и более общее утверждение.

Теорема 1.9. Пусть функция f интегрируема на отрезке [а, Ь], М = sup /(х), т = inf /(х). Пусть функция ф определена на отрезке

а<�х<�Ь ^а^^хйЬ

[т, М] и непрерывна на нем. Тогда сложная функция ф (/) интегрируема на отрезке [а, Ь].

Доказательство. Зафиксируем число е > 0. Пусть С = max |.

m

жим е_а =-. Так как функция ф равномерно непрерывна на отрезке.

Ь-а+2С

[ш, М], то существует такое число 5>0, что |9(t₁)-9(t₂)| 21 < S. Не ограничивая общности, можем считать, что 8<�е₁.

Так как функция/интегрируема на [а, Ъ], то существует такое разбиение Т = {х₀;х₁;…;х_л} отрезка [а, Ь], что S (T)-s (T)<8², где S (T)h s (T) — верхняя и нижняя суммы Дарбу для функции/, соответствующие разбиению Т.

Пусть.

Разобьем множество целых чисел {1; 2;п} на два множества, А и В следующим образом: число /се А, если M_k-m_k< 8; число /се В, если M_k-m_k >8. Тогда для всех /се А в силу равномерной непрерывности функции ф имеем M_k-m_k< Если же /с е В, то, очевидно, M_k-ml< 2 С.

Пусть S*(T) и s*(T) — соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу для функции ф (/). Тогда.

Оценим отдельно величину? Ах_к. Так как в силу построения мно;

fceB.

жества В имеем.

Таким образом, разность между верхней и нижней суммами Дарбу функции ф (/), соответствующими разбиению Г, меньше е. Это означает, что данная функция интегрируема на отрезке [а, 8], что и требовалось доказать.

Замечание 1.2. Композиция двух интегрируемых функций необязательно будет интегрируема. Например, пусть.

(так определенная функция / называется функцией Римана. Для нее М = 1, т = 0). Тогда.

— функция Дирихле. Очевидно, что <�р е Я[0,1] (она ограничена и имеет одну точку разрыва на этом отрезке). Функция/также интегрируема на [ОД] (см. задачу 1.17). Однако их композиция — функция Дирихле — не является интегрируемой на отрезке [0,1] (см. задачу 1.19).